PageRank算法

PageRank是網頁重要程度計算方法，可推廣到有向圖結點的重要程度的計算。基本思想是在有向圖上定義隨機游走模型，在一定條件下，極限情況訪問每個結點的概率收斂到平穩分布。

給定有n個結點強連通且非周期性的有向圖，在其基礎上定義隨機游走模型。假設轉移矩陣M，在時刻0，1，2，…，t，…訪問各個結點概率為

則其極限存在，那么極限向量R表示馬爾可夫鏈的平穩分布，滿足

平穩分布R稱為這個圖的PageRank。R的各個分量為各個結點的PageRank值，

這是PageRank的基本定義，但有時有向圖並未能滿足強連通且非周期性的條件，沒有其對應的平穩分布。

然而可以在基本定義上導入平滑項，這樣平穩分布向量R就由下面的公式決定

其中，1是所有分量為1 的n維向量；d阻尼因子，一般由經驗決定

因此這也稱為PageRank的一般定義，其隨機游走模型的轉移矩陣由兩部分的線性組合組成，一部分是有向圖的基本轉移矩陣M，另一部分是完全隨機的轉移矩陣。

PageRank的計算方法包括冪法、迭代計算法、代數算法。

冪法是其常用的方法，通常計算矩陣的主特征值和主特征向量求求得有向圖的一般PageRank。計算流程：

輸入：有n個結點的有向圖，其轉移矩陣M，阻尼因子d，初始向量x0和計算精度ε

輸出：有向圖的PageRank平穩向量R

1. 令t=0，選擇初始向量x0
2. 計算有向圖的一般轉移矩陣A

   

3. 迭代並規范化結果向量

   

4. 當時，令，停止迭代。
5. 否則，令t=t+1，執行步驟（3）
6. 對R進行規范化處理，使其表示概率分布

   例，給定以下有向圖，d=0.85，ε=0.005，求其一般的PageRank

   

   圖1 有向圖

   有向圖的轉移矩陣

   

7. 令t=0，

   

8. 根據公式計算該圖的一般轉移矩陣A

   

9. 迭代並規范化

   

   通過多次迭代，在t=21，22時，得到向量

   

   ，停止迭代，取

    

   將R規范化，即使得其各個分量的和為1，

   

    

   迭代計算算法的流程：

   輸入：有n個結點的有向圖，其轉移矩陣M，阻尼因子d，初始向量R0

   輸出：有向圖的PageRank平穩向量R

   （1）令t=0，

   （2）計算

   （3）當時充分接近，令，停止迭代。

   （4）否則，令t=t+1，執行步驟（2）

   代數算法的流程：

   按照一般PageRank的定義

   

   當0<d<1時，上定義式的推導解存在且唯一，這樣就可通過求逆矩陣得到有向圖的一般PageRank