一、PageRank簡介
PageRank，網頁排名，又稱佩奇排名。谷歌的兩位創始人，佩奇 (Larry Page) 和布林 (Sergey Brin) 開始了對網頁排序問題的研究。他們的借鑒了學術界評判學術論文重要性的通用方法， 那就是看論文的引用次數。由此想到網頁的重要性也可以根據這種方法來評價。於是PageRank的核心思想就誕生了，非常簡單：
- 如果一個網頁被很多其他網頁鏈接到的話說明這個網頁比較重要，也就是PageRank值會相對較高；
- 如果一個PageRank值很高的網頁鏈接到一個其他的網頁，那么被鏈接到的網頁的PageRank值會相應地因此而提高；
二、最簡單的PageRank模型
互聯網中的網頁可以看出是一個有向圖，其中網頁是結點，如果網頁A有鏈接到網頁B，則存在一條有向邊A->B，下面是一個簡單的示例：
這個例子中只有四個網頁，如果當前在A網頁，那么悠閑的上網者將會各以1/3的概率跳轉到B、C、D，這里的3表示A有3條出鏈，如果一個網頁有k條出鏈，那么跳轉任意一個出鏈上的概率是1/k，同理D到B、C的概率各為1/2，而B到C的概率為0。一般用轉移矩陣表示上網者的跳轉概率，如果用n表示網頁的數目，則轉移矩陣M是一個n*n的方陣；如果網頁j有k個出鏈，那么對每一個出鏈指向的網頁i，有M[i][j]=1/k，而其他網頁的M[i][j]=0；上面示例圖對應的轉移矩陣如下：
初試時，假設上網者在每一個網頁的概率都是相等的，即1/n，於是初試的概率分布就是一個所有值都為1/n的n維列向量V0，用V0去右乘轉移矩陣M，就得到了第一步之后上網者的概率分布向量MV0,（nXn）*(nX1)依然得到一個nX1的矩陣。下面是V1的計算過程：
注意矩陣M中M[i][j]不為0表示用一個鏈接從j指向i，M的第一行乘以V0，表示累加所有網頁到網頁A的概率即得到9/24。得到了V1后，再用V1去右乘M得到V2，一直下去，最終V會收斂，即Vn=MV(n-1)，上面的圖示例，不斷的迭代，最終V=[3/9,2/9,2/9,2/9]’：
三、終止點問題
上述上網者的行為是一個馬爾科夫過程的實例，要滿足收斂性，需要具備一個條件：
- 圖是強連通的，即從任意網頁可以到達其他任意網頁：
互聯網上的網頁不滿足強連通的特性，因為有一些網頁不指向任何網頁，如果按照上面的計算，上網者到達這樣的網頁后便走投無路、四顧茫然，導致前面累計得到的轉移概率被清零，這樣下去，最終的得到的概率分布向量所有元素幾乎都為0。假設我們把上面圖中C到A的鏈接丟掉，C變成了一個終止點，得到下面這個圖：
對應的轉移矩陣為：
連續迭代下去，最終所有元素都為0：
四、陷阱問題
另外一個問題就是陷阱問題，即有些網頁不存在指向其他網頁的鏈接，但存在指向自己的鏈接。比如下面這個圖：
上網者跑到C網頁后，就像跳進了陷阱，陷入了漩渦，再也不能從C中出來，將最終導致概率分布值全部轉移到C上來，這使得其他網頁的概率分布值為0，從而整個網頁排名就失去了意義。如果按照上面圖對應的轉移矩陣為：
不斷的迭代下去，就變成了這樣：
五、解決終止點問題和陷阱問題
上面過程，我們忽略了一個問題，那就是上網者是一個悠閑的上網者，而不是一個愚蠢的上網者，我們的上網者是聰明而悠閑，他悠閑，漫無目的，總是隨機的選擇網頁，他聰明，在走到一個終結網頁或者一個陷阱網頁（比如兩個示例中的C），不會傻傻的干着急，他會在瀏覽器的地址隨機輸入一個地址，當然這個地址可能又是原來的網頁，但這里給了他一個逃離的機會，讓他離開這萬丈深淵。模擬聰明而又悠閑的上網者，對算法進行改進，每一步，上網者可能都不想看當前網頁了，不看當前網頁也就不會點擊上面的連接，而上悄悄地在地址欄輸入另外一個地址，而在地址欄輸入而跳轉到各個網頁的概率是1/n。假設上網者每一步查看當前網頁的概率為a，那么他從瀏覽器地址欄跳轉的概率為(1-a)，於是原來的迭代公式轉化為：
現在我們來計算帶陷阱的網頁圖的概率分布：
重復迭代下去，得到：
