Case 1. 定義
韋達定理即：
在方程：
\[ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c \in R , a \not = 0) \]
中，兩根 \(x_1 , x_2\) 存在關系：
\[x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} , x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]
Case 2. 求根公式的證明
首先我們要求出 \(x_1\) 和 \(x_2\). 這也是 求根公式 的證明過程。
\[ax^2 + bx + c = 0 \]
\[4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \]
\[(2ax + b)^2 - b^2 = -4ac \]
\[(2ax+b)^2 = b^2-4ac \]
\[2ax+b = \pm \sqrt{b^2-4ac} \]
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} , x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
至此， 求根公式 得證。
Case 3 韋達定理的證明
我們將 \(x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}\) 作為 韋達定理 \(1\)，\(x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\) 作為 韋達定理 \(2\)，分別證明。
Case 3.1 韋達定理 \(1\) 的證明
\[x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \]
證：
\[\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
\[= \frac{-2b}{2a} \]
\[= - \frac{b}{a} \]
得證。
Case 3.2 韋達定理 \(2\) 的證明
\[x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]
證：
\[\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
\[= \frac{(-b + \sqrt{b^2-4ac} \times (-b - \sqrt{b^2-4ac})}{4a^2} \]
\[= \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} \]
\[= \frac{4ac}{4a^2} \]
\[= \frac{c}{a} \]
得證。
Case 4. 韋達定理的應用
其逆定理為：
若 \(\alpha + β = - \frac{b}{a} , \alpha \times β = \frac{c}{a}\)，則它們都是
\[a^2 + bx + c = 0 (a,b,c \in R , a \not = 0) \]
的解。
由此可以 構造一元二次方程，有較大應用。尤其在 平面幾何，解析幾何，方程論 中更具應用。
Case 5. 推廣韋達定理
即若有一元 \(n\) 次方程組：
\[\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 (n \geq 2 , a_i \in R , a_n \not = 0) \]
則其解 \(x_0 , x_1 \cdots x_n\) 滿足：
\[\sum_{i=0}^n x_i = - \frac{a_{n-1}}{a_n} \]
\[\prod_{i=0}^n x_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \]
有類似證明，讀者可自證。