數據結構與算法—C語言描述 樹和二叉樹的概念和定義

數據結構與算法——C語言描述 個人筆記

樹和二叉樹

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前言

在生活中，線結構是最基本並且也是最常用的，但是有許多邏輯關系並不是簡單的線性關系，在實際的場景中，往往存在一對多甚至是多對多的情況。

這時就需要非線性結構了，而樹結構則是一類重要的非線性結構，樹是以分支關系定義的層次結構，並且在現實生活中有廣泛的應用。

比如說人類社會的家譜：

滿 門 忠 烈

機構里的職級關系也可以用樹表示：

還有許多抽象的東西也可以表示成一棵樹，比如說操作系統中的文件目錄的組織結構、一本書的目錄：

這種結構類似於自然界中的樹一樣，從根里衍生出許多枝干，再從枝干中衍生出許多更小的枝干，最后衍生出更多的葉子。

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樹的概念和定義

樹的定義

樹(Tree)是n(n>=0)個結點的有限集。

​ 當n=0（即無結點）時，稱為空樹，空樹是樹的特例。
​ 當n>0時為非空樹，對於非空樹：

1. 必有且只有一個稱之為根(Root)的結點。

2. 除根結點以外的n-1個結點可以划分為m個根的子樹(SubTree)。

   

樹其實也是一種遞歸的實現，即樹的定義之中還用到了樹的概念。

對比線性表和樹的結構，他們有很大的不同。

線性結構	樹結構
第一個數據元素：無前驅	根結點：無雙親，唯一
最后一個數據元素：無后繼	葉結點：無孩子，可以多個
中間元素：一個前去一個后繼	中間節點：一個雙親多個孩子

樹的固有特性

• 非空樹至少有一個結點，只有一個結點的樹稱為最小樹，這個結點稱為樹的根結點或者簡稱為樹根。

• 在含有多個結點的樹中，除了根結點以外，其余的結點構成若干棵子樹（一棵樹是由若干個子樹構成的），各子樹間互不相交。

  

  圖中的兩個結構就不符合定義，因為他們都有相交的子樹。

• 每顆子樹除了根結點以外，每個節點有且只有一個直接前驅，但可以有0到多個直接后繼。

樹的基本術語

1. 結點：樹中的一個個獨立單元。包含一個數據元素和若干指向其他節點的分支信息。

2. 結點的度(De-gree)：一個結點的子樹個數。

3. 樹的度：樹內各結點度的最大值。

   因為這棵樹結點的度的最大值是結點D的度，為3，所以樹的度也為3。

4. 葉結點(Leaf)：度為0的節點，即無后繼的結點稱為葉結點或終端結點。

5. 分支結點：度不為0的結點，又稱為非終端結點，除根結點外，非終端節點也稱為內部節點。

6. 結點的層次(Level)：從根結點開始定義，根結點的層次為1，根的直接后繼的層次為2，依此類推。

7. 結點的層序編號：將樹中的結點按照從上到下，同層按照從左到右的次序排成一個線性序列，依次給他們編以從1開始的連續的自然數。

8. 樹的高度/深度(Depth)：樹中所有結點的層次的最大值，圖中的樹深度為4。

   
   • 空樹的高度為0。
   • 只有根結點的樹的高度為1。

9. 森林(Forest)：m（m>=0）棵互不相交的樹的集合。對樹中每個結點而言，其子樹的集合即為森林。將一棵非空非最小樹的樹根結點刪去，樹就變成一個森林。

10. 孩子結點(Child)：一個結點的直接后繼稱為該結點的孩子節點。

11. 雙親結點(Parent)：一個結點的直接前驅稱為該節點的雙親結點。

12. 兄弟結點(Sibling)：同一雙親結點的孩子之間互相稱為兄弟結點。

13. 有序樹：將樹中結點的各子樹看成從左到右是有先后次序的（不能互換），則稱為有序樹，否則稱為無序樹。

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二叉樹

二叉樹的定義

滿足以下兩個條件的樹形結構稱為二叉樹（Binary Tree）：

1. 每個結點最多有兩棵子樹（即不存在度大於2的結點）。

2. 二叉樹的子樹有左右之分，其次序不能任意顛倒，即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。

   

   二叉樹結點的兩個孩子結點，左邊的被稱為左孩子(Left child),右邊的被稱為右孩子(Right child)。兩個孩子結點也有左右之分，次序不能任意顛倒。

二叉樹的五種基本形態：

前面有關樹的術語都適用於二叉樹。

二叉樹的性質

1. 在二叉樹的第i層上（i從1開始計數）最多有2^i-1個結點（i>=1）。
2. 高度為k的二叉樹最多有2^k-1個結點（k>=1）。
3. 具有n（n>=1）個結點的完全二叉樹的高度最多為n，最少為(log₂n)+1。
4. 對任何一棵二叉樹，如果其葉結點有n個，度為2的結點有m個，則有：n=m+1。
5. 如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（其深度為(log₂n)+1）的結點按層序編號（從第一層到(log₂n)+1層，每層從左到右），對任一結點i(1<=i<=n)有：
   • 如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親（屬實孤兒）；如果i>1，則其雙親是結點i/2。
   • 如果2i>n，則結點i無左孩子（結點i為葉子結點）；否則其左孩子是結點2i。
   • 如果2i+1>n，則結點i無右孩子；否則其右孩子是結點2i+1。
6. n個結點可以組成1/(n+1)*[(2n)!/(n!*n!)]種不同構的二叉樹。

特殊二叉樹

1. 滿二叉樹：在一棵二叉樹中，如果所有分支（非葉子結點）都存在左子樹和右子樹，並且所有的葉子都在同一層上（高度為k的二叉樹且有2^k-1個結點）。

   說白了就是每個分支都是滿的。

   

2. 完全二叉樹：把一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號為i(1<=i<=n)的結點和同樣深度的滿二叉樹中編號i的節點在二叉樹中位置完全相同，那么這棵二叉樹被稱為完全二叉樹。也可以理解為把一棵滿二叉樹的最后一層結點，從左向右連續卻掉若干個結點，那么它就是完全二叉樹。

   

   （可以看到這個二叉樹編號從1到12的12個結點和上圖的二叉樹的12個結點的位置完全對應，所以這個樹是完全二叉樹。)

   滿二叉樹一定是完全二叉樹，但完全二叉樹不一定是滿二叉樹。

   在完全二叉樹或滿二叉樹中，如果某個結點沒有左兒子，那么他一定沒有右兒子（即該結點是一個葉結點）。