KM算法原理+證明

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title: KM算法原理+證明
date: 2020-04-26
categories: ["算法"]
summary: "以匈牙利算法為基礎，改善后用於求解帶權二分圖的求最佳匹配問題。百度百科中有KM算法的介紹，當中有證明過程：[百度KM算法]"
author: White Song
tags: ["二分圖"]
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blog: https://blog.yilon.top

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介紹

以匈牙利算法為基礎，改善后用於求解帶權二分圖的求最佳匹配問題

百度百科中有KM算法的介紹，當中有證明過程：百度KM算法

最大權匹配

帶權二分圖的邊權重和最大的匹配，如下圖所示，最大和為102

最佳匹配

帶權二分圖的邊權重和最大的完備匹配，如下圖所示

顯然，最佳匹配和最大權匹配並不一致，但如果把剩下的邊補上，並且設置權重為零，那么二者可以統一起來

KM算法

下面講的KM算法是用來求最佳匹配，而非最大權匹配。

KM算法是一種計算機算法，功能是求完備匹配下的最大權匹配。

如果不存在完備匹配，那么算法會求最大匹配，如果最大匹配有多種，那么結果是最大匹配中權重和最大的。

在一個二分圖內，左頂點為X，右頂點為Y，現對於每組左右連接XiYj有權，求最大匹配，並且使得該匹配中所有的和是最大。

該算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。

設頂點的頂標為的頂標為，頂點的頂標為，頂點與之間的邊權為，在算法執行過程中，對於圖中的任意一條邊，始終成立。

相等子圖

G當中每一條邊有左右兩個頂標，*相等子圖*就是那些頂標和等於邊權重的邊構成的子圖，如下圖綠色加粗線構成相等子圖

KM算法的正確性基於以下的定理：

定理：若二分圖中，，並且存在某個相等子圖有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。

證明：因為這個完備匹配存在於相等子圖中，因此，這個匹配所有邊都滿足：，同時由於完備匹配包含所有的頂點，因此這個屬於相等子圖的完備匹配的總權重等於所有頂標的和。

如果這個二分圖存在另外一個完備匹配，如果它不完全屬於相等子圖，即存在某條邊，那么該匹配的權重和就小於所有頂標的和，即小於上述屬於相等子圖的完備匹配的權重和。

算法過程

首先選擇頂點數較少的為X部，初始時對X部的每一個頂點設置頂標，頂標的值為該點關聯的最大邊的權值，Y部的頂點頂標為0。

對於X部中的每個頂點，在相等子圖中利用匈牙利算法找一條增廣路徑，如果沒有找到，則修改頂標，擴大相等子圖，繼續找增廣路徑。當每個點都找到增廣路徑時，此時意味着每個點都在匹配中，即找到了二分圖的完備匹配。該完備匹配是最大權重的完備匹配，即為二分圖的最佳匹配。

匈牙利算法對左邊第一個頂點，在相等子圖中進行增廣路徑搜索，找到路徑1-C后進行匹配增廣操作，如下圖所示

回答第一個問題，需要理解如何在保持相等子圖原來的邊符合相等子圖要求的同時，讓新加的邊也滿足相等子圖的要求。

那么在增廣路徑搜索時，我們知道，如果下面這些紫色邊任意一條加入相等子圖后，都可以在相等子圖中使用匈牙利算法找到一條增廣路徑2-A（or 2-B or 2-C-1-A）：

KM算法選擇上述三條紫色邊中，頂標和與邊權重差值最小的邊1-A或者2-A，以該最小差值為d

這里有一個問題就是為什么最小那個？首先比這更小了就不能擴大相等子圖了，但是如果大了，就不能保證總是成立了。比如上圖選擇了2-B邊的差值2，那么修改頂標值后，1-A有。

而KM算法中需要修改的頂標，是那些在匈牙利算法增廣路徑搜索時，產生一棵交錯樹，為了保證總是成立，交錯樹上所有的頂標都要參與修改。

比如在如上第二個頂點搜索增廣路徑時，產生如下圖所示的橙色頂標集合{1，2，C}：

修改頂標后產生如下圖所示的結果：

在該相等子圖上以頂點2為開始點，搜索增廣路徑2-A（or 2-C-1-A），進行增廣操作:

同樣對左邊第三個點：

另外一個問題是為什么修改橙色頂標而不去修改頂標A（找到最小差對應的邊的右邊頂標）？修改頂標A的值為-1，那么邊1-A也可以加入相等子圖了。問題就在於能不能保證總是成立，如下圖所示結果，修改頂標A，邊3-A就不滿足該條件了。除非在修改頂標A的同時，增加頂標3的值，但是需要修改的頂標集合需要額外的搜索算法，而修改橙色頂標所需要的交錯樹在增廣路徑搜索時可以一並產生。

C++代碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
 
int wx[maxn], wy[maxn];//每個點的頂標值（需要根據二分圖處理出來）
int cx[maxn], cy[maxn];//每個點所匹配的點
int visx[maxn], visy[maxn];//每個點是否加入增廣路
int cntx=maxn, cnty=maxn;//分別是X和Y的點數
//int Map[maxn][maxn] = { {3,INF,100},{2,1,3 },{INF,INF,5} };//二分圖邊的權值
int Map[maxn][maxn] = { {3,0,100},{2,1,3 },{0,0,5} };//二分圖邊的權值
int minz;//邊權和頂標最小的差值
 
bool dfs(int u)//進入DFS的都是X部的點
{
	visx[u] = 1;//標記進入增廣路
	for (int v = 0; v < cnty; v++)
	{
		if (!visy[v] && Map[u][v] != INF)//如果Y部的點還沒進入增廣路,並且存在路徑
		{
			int t = wx[u] + wy[v] - Map[u][v];
			if (t == 0)//t為0說明是相等子圖
			{
				visy[v] = 1;//加入增廣路
							//如果Y部的點還未進行匹配
							//或者已經進行了匹配，但是可以從v點原來匹配的cy[v]找到一條增廣路
							//因為visy[v] = 1；因此從if (!visy[v] && Map[u][v] != INF) 中可以看出下一個找到的cy[v]-v'連接肯定不在已經匹配的邊集合M中
							//因為當v'=v時if不滿足!visy[v]=true
							//這保證了所找到的路徑是屬於M和不屬於M的邊交替出現
							//這時，下面遞歸的cx[u] = v; 和cy[v] =u 就可以對路徑上的邊取反，達到增廣的效果
							//這是DFS的算法
							//那就可以進行匹配
				if (cy[v] == -1 || dfs(cy[v]))
				{
					cx[u] = v;
					cy[v] = u;//進行匹配
					return true;
				}
			}
			else if (t > 0)//此處t一定是大於0，因為頂標之和一定>=邊權
			{
				minz = min(minz, t);//邊權和頂標最小的差值
			}
		}
	}
	return false;
}
 
int KM()
{
	memset(cx, -1, sizeof(cx));
	memset(cy, -1, sizeof(cy));
	memset(wx, 0, sizeof(wx));//wx的頂標為該點連接的邊的最大權值
	memset(wy, 0, sizeof(wy));//wy的頂標為0
	for (int i = 0; i < cntx; i++)//預處理出頂標值
	{
		for (int j = 0; j < cnty; j++)
		{
			if (Map[i][j] == INF) {
				continue;
			}
			wx[i] = max(wx[i], Map[i][j]);
		}
	}
	for (int i = 0; i < cntx; i++)//枚舉X部的點
	{
		while (1)
		{
			minz = INF;
			memset(visx, 0, sizeof(visx));
			memset(visy, 0, sizeof(visy));
			if (dfs(i))break;//已經匹配正確
 
							 //還未匹配，將X部的頂標減去minz，Y部的頂標加上minz
			for (int j = 0; j < cntx; j++)
				if (visx[j])wx[j] -= minz;
			for (int j = 0; j < cnty; j++)
				if (visy[j])wy[j] += minz;
		}
	}
 
	int ans = 0;//二分圖最優匹配權值
	for (int i = 0; i < cntx; i++)
		if (cx[i] != -1)ans += Map[i][cx[i]];
	return ans;
}
int n, k;
int main()
{
	int result = KM();
	return 0;
}