回文數或回文數是指一個像14641這樣“對稱”的數，即：將這個數的數字按相反的順序重新排列后，所得到的數和原來的數一樣。這里，“回文”是指像“媽媽愛我，我愛媽媽”這樣的，正讀反讀都相同的單詞或句子。

回文數或回文數是指一個像14641這樣“對稱”的數，即：將這個數的數字按相反的順序重新排列后，所得到的數和原來的數一樣。這里，“回文”是指像“媽媽愛我，我愛媽媽”這樣的，正讀反讀都相同的單詞或句子。

回文數在休閑數學領域備受關注。一個典型的問題就是，尋找那些具有某種特性，並且符合回文特征的數。例如：

• 回文素數：2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,… A002385
• 回文完全平方數：0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… A002779

巴克敏斯特·福樂在其着作《協同學》（Synergetics）中把回文數也叫做沙拉扎數（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位講故事的王妃、即宰相的女兒的名字。

直觀地，在任意的進位制下都存在着無窮多個回文數。可以這樣說明：在任意的基下，一個像101, 1001, 10001,… （即由一個1后接n個0再后接一個1）這樣的數可組成一個無窮多項的序列，其各項全部都是回文數，因此這個基下的回文數有無窮多個（其中包括但不限於該序列中的無窮多個項）。

正式定義

雖然通常是在十進制系統下來考慮回文數，但回文性的性質可推廣用於任何記數系統中的自然數。考慮以 {\displaystyle b\ (b\geq 2)} 為基的數 {\displaystyle n\ (ngt;0)}，在基 {\displaystyle b} 下，{\displaystyle n} 可按標准方式表示為 {\displaystyle k+1} 個數字 {\displaystyle a_{i}}，即：

{\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}

其中，如慣例，對所有 {\displaystyle i} 都要求 {\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b}，且 {\displaystyle a_{k}\neq 0}。 則 {\displaystyle n} 稱為回文數，當且僅當對所有 {\displaystyle i} 都有{\displaystyle a_{i}=a_{k-i}}。零在任何基下均寫作 0 並由定義認為它也是回文數。

另一種等價的定義如下：在任意固定的基 {\displaystyle b} 下，數{\displaystyle n}稱為回文的當且僅當：

• {\displaystyle n}是單個數字，或
• {\displaystyle n}為兩個相同數字，或
• {\displaystyle n}由三個或更多數字組成，其首位和末位數字相同，且從{\displaystyle n}中去掉該首位和末尾數字后的數也是回文的。

十進制回文數

10基數下，所有單個數字{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}都是回文數。

兩位數的回文數有9個：

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

三位數中有90個回文數：

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

四位數中也有90個回文數：

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}

因此總共有199個小於10⁴的回文數。小於10⁵的回文數有1099個，對其它的10的整數冪10ⁿ來說，分別有：1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... （OEIS中的數列A070199）個回文數。下表列出了一些常見類型的回文數在這些10的冪為界限下的個數（其中包括將0也作為一個回文數）：

	101	102	103	104	105	106	107	108	109	1010
n為自然數	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n為偶數	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n為奇數	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n為完全平方數	3		6		13	14	19		+	+
n為素數	4	5	20		113		781		5953
n為因數中不含平方數的數	6	12	67	120	675	+	+	+	+	+
n為可被某平方數整除的數（即μ(n)=0）	3	6	41	78	423	+	+	+	+	+
n為素數的平方數	2		3		5
n具有偶數個相異的素因子（即μ(n)=1）	2	6	35	56	324	+	+	+	+	+
n具有奇數個相異的素因子（即μ(n)=-1）	5	7	33	65	352	+	+	+	+	+
n本身為偶數並具有奇數個素因子
n本身為偶數並具有奇數個相異的素因子	1	2	9	21	100	+	+	+	+	+
n本身為奇數並具有奇數個素因子	0	1	12	37	204	+	+	+	+	+
n本身為奇數並具有奇數個相異的素因子	0	0	4	24	139	+	+	+	+	+
n本身為偶數且因子中無平方數、有偶數個相異素因子	1	2	11	15	98	+	+	+	+	+
n本身為奇數且因子中無平方數、有偶數個相異素因子	1	4	24	41	226	+	+	+	+	+
n為奇數並具有正好兩個素因子	1	4	25	39	205	+	+	+	+	+
n為偶數並具有正好兩個素因子	2	3	11		64	+	+	+	+	+
n為偶數並具有正好三個素因子	1	3	14	24	122	+	+	+	+	+
n為偶數並具有正好三個相異的素因子
n為奇數並具有正好三個素因子	0	1	12	34	173	+	+	+	+	+
n為卡邁克爾數	0	0	0	0	0	1+	+	+	+	+
n為滿足σ(n)是回文數的數	6	10	47	114	688	+	+	+	+	+

其它的基數下的回文數

也可在十進制以外的其它數系中考慮回文數。例如，在二進制中的回文數有：

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001,…

以上這些數在十進制中即：0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33,…（OEIS中的數列A006995）。梅森素數構成了二進制回文素數的一個子集。

通常在一個基數下的回文數在另一個基數下就不再是回文數。例如：16461₁₀ = 404D₁₆。（下標的數字表示的是基數，即n₁₆表示以十六進制寫出的n）。然而，有些數字在幾個基數中都是回文數（稱為“協回文的”，copalindromic），例如105₁₀在五個不同的基數下都是回文數：1221₄ = 151₈ = 77₁₄ = 55₂₀ = 33₃₄；十進制數1991在十六進制中為7C7，也是回文的。

在以18為基時，7的一些冪是回文的：

• 7³ = 111
• 7⁴ = 777
• 7⁶ = 12321
• 7⁹ = 1367631

對任意數n，在所有b ≥ n + 1的基數b下都是回文的（因為這時n是一個單位數）；在基為n−1時同樣也是回文數（因為這時n就成了11_n−1）。如果對於2 ≤ b ≤ n − 2，某數在基b下都是非回文數，則稱其是一個嚴格非回文數（Strictly non-palindromic number）。例如6在二進制是110，三進制是20，四進制是12，都不是回文數，因此它是嚴格非回文數。這樣的數其中一個特質是6以上的數都是質數。首幾項：1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, ... （OEIS中的數列A016038）。

參見