這道題是密碼學的作業，開始不會寫，答案只有結果而沒有過程，后來查了一些資料才算是搞明白了。
題目如下：
(a) 下述的偽隨機數發生器可獲得的最大周期是多少？
\[X_{n+1}=(aX_n)\mod{2^4} \](b) 這時 a 為多少？
(c) 對種子有什么要求？
解答如下：
(a)
首先引入這樣一個結論：對任意的奇數\(a\)與正整數\(n\)，有：\(a^{2^n}≡1\pmod{2^{n+2}}\)。用歸納法證明這個結論：
當\(n=1\)時，存在整數\(b\)，\(c\)，使得
\[a^{2^n}=(2b+1)^2=4b(b+1)+1=2^3c+1≡1\pmod{2^3} \]假設當\(n=k\)時，命題成立，即
\[a^{2^k}≡1\pmod{2^{k+2}} \]則存在整數\(c\)，使得
\[a^{2^k}=2^{k+2}c+1 \]當\(n=k+1\)時，存在整數\(k\)，\(b\)，使得
\[a^{2^{k+1}}=(2^{k+2}c+1)^2=2^{2k+4}c^2+2·2^{k+2}c+1=2^{k+3}c(2^{k+1}c+1)+1≡1\pmod{2^{k+3}} \]即當\(n=k+1\)時，命題成立。
由1，2可得，該命題成立。
若\(a\)與\(2^4\)不互素，即\(a\)為偶數，令\(a=2k\)，則
\[a^4=16k^4≡0\pmod{2^4} \]
從而
\[0=X_{n+4}≡a^4X_n\pmod{2^4} \]
產生的第四個數之后全為0，所以\(a\)與\(2^4\)互素。
又因為
\[a^{2^n}≡1\pmod{2^{n+2}} \]
所以
\[a^{2^{4-2}}=a^4≡1\pmod{2^4} \]
從而
\[a^4X_n≡X_n\pmod{2^4} \]
即
\[X_{n+4}=X_n \]
所以最大周期為4。
(b)
由(a)可知，\(a\)為奇數。
經計算，\(a=7,9,15\)時，周期為2。
\(a=3,5,11,13\)時，周期為4。
(c)
種子必須為奇數，否則周期會不大於2。