循環冗余校驗檢錯方案：
奇偶校驗碼（PCC）只能校驗一位錯誤，本節所要介紹的循環冗余校驗碼（CRC）的檢錯能力更強，可以檢出多位錯誤。
1. CRC校驗原理
CRC校驗原理看起來比較復雜，好難懂，因為大多數書上基本上是以二進制的多項式形式來說明的。其實很簡單的問題，其根本思想就是先在要發送的幀后面附加一個數（這個就是用來校驗的校驗碼，但要注意，這里的數也是二進制序列的，下同），生成一個新幀發送給接收端。當然，這個附加的數不是隨意的，它要使所生成的新幀能與發送端和接收端共同選定的某個特定數整除（注意，這里不是直接采用二進制除法，而是采用一種稱之為“模2除法”）。到達接收端后，再把接收到的新幀除以（同樣采用“模2除法”）這個選定的除數。因為在發送端發送數據幀之前就已通過附加一個數，做了“去余”處理（也就已經能整除了），所以結果應該是沒有余數。如果有余數，則表明該幀在傳輸過程中出現了差錯。
【說明】“模2除法”與“算術除法”類似，但它既不向上位借位，也不比較除數和被除數的相同位數值的大小，只要以相同位數進行相除即可。模2加法運算為：1+1=0，0+1=1，0+0=0，無進位，也無借位；模2減法運算為：1-1=0，0-1=1，1-0=1，0-0=0，也無進位，無借位。相當於二進制中的邏輯異或運算。也就是比較后，兩者對應位相同則結果為“0”，不同則結果為“1”。如100101除以1110，結果得到商為11，余數為1，如圖5-9左圖所示。如11×11=101，如圖5-9右圖所示。
圖5-9 “模2除法”和“模2乘法”示例
具體來說，CRC校驗原理就是以下幾個步驟：
（1）先選擇（可以隨機選擇，也可按標准選擇，具體在后面介紹）一個用於在接收端進行校驗時，對接收的幀進行除法運算的除數（是二進制比較特串，通常是以多項方式表示，所以CRC又稱多項式編碼方法，這個多項式也稱之為“生成多項式”）。
（2）看所選定的除數二進制位數（假設為k位），然后在要發送的數據幀（假設為m位）后面加上k-1位“0”，然后以這個加了k-1個“0“的新幀（一共是m+k-1位）以“模2除法”方式除以上面這個除數，所得到的余數（也是二進制的比特串）就是該幀的CRC校驗碼，也稱之為FCS（幀校驗序列）。但要注意的是，余數的位數一定要是比除數位數只能少一位，哪怕前面位是0，甚至是全為0（附帶好整除時）也都不能省略。
（3）再把這個校驗碼附加在原數據幀（就是m位的幀，注意不是在后面形成的m+k-1位的幀）后面，構建一個新幀發送到接收端，最后在接收端再把這個新幀以“模2除法”方式除以前面選擇的除數，如果沒有余數，則表明該幀在傳輸過程中沒出錯，否則出現了差錯。
通過以上介紹，大家一定可以理解CRC校驗的原理，並且不再認為很復雜吧。
從上面可以看出，CRC校驗中有兩個關鍵點：一是要預先確定一個發送端和接收端都用來作為除數的二進制比特串（或多項式）；二是把原始幀與上面選定的除進行二進制除法運算，計算出FCS。前者可以隨機選擇，也可按國際上通行的標准選擇，但最高位和最低位必須均為“1”，如在IBM的SDLC（同步數據鏈路控制）規程中使用的CRC-16（也就是這個除數一共是17位）生成多項式g（x）= x16 + x15 + x2 +1（對應二進制比特串為：11000000000000101）；而在ISO HDLC（高級數據鏈路控制）規程、ITU的SDLC、X.25、V.34、V.41、V.42等中使用CCITT-16生成多項式g（x）=x16 + x15 + x5 +1（對應二進制比特串為：11000000000100001）。
2. CRC校驗碼的計算示例
由以上分析可知，既然除數是隨機，或者按標准選定的，所以CRC校驗的關鍵是如何求出余數，也就是CRC校驗碼。
下面以一個例子來具體說明整個過程。現假設選擇的CRC生成多項式為G（X） = X4 + X3 + 1，要求出二進制序列10110011的CRC校驗碼。下面是具體的計算過程：
（1）首先把生成多項式轉換成二進制數，由G（X） = X4 + X3 + 1可以知道（，它一共是5位（總位數等於最高位的冪次加1，即4+1=5），然后根據多項式各項的含義（多項式只列出二進制值為1的位，也就是這個二進制的第4位、第3位、第0位的二進制均為1，其它位均為0）很快就可得到它的二進制比特串為11001。
（2）因為生成多項式的位數為5，根據前面的介紹，得知CRC校驗碼的位數為4（校驗碼的位數比生成多項式的位數少1）。因為原數據幀10110011，在它后面再加4個0，得到101100110000，然后把這個數以“模2除法”方式除以生成多項式，得到的余數，即CRC校驗碼為0100，如圖5-10所示。注意參考前面介紹的“模2除法”運算法則。
圖5-10 CRC校驗碼計算示例
（3）把上步計算得到的CRC校驗碼0100替換原始幀101100110000后面的四個“0”，得到新幀101100110100。再把這個新幀發送到接收端。
（4）當以上新幀到達接收端后，接收端會把這個新幀再用上面選定的除數11001以“模2除法”方式去除，驗證余數是否為0，如果為0，則證明該幀數據在傳輸過程中沒有出現差錯，否則出現了差錯。
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標准CRC生成多項式如下表：
名稱 生成多項式 簡記式* 標准引用
CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704
CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31
CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07
CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E
CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F
CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC
CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS
CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP
生成多項式的最高位固定的1，故在簡記式中忽略最高位1了，如0x1021實際是0x11021。
I、基本算法（人工筆算）：
以CRC16-CCITT為例進行說明，CRC校驗碼為16位，生成多項式17位。假如數據流為4字節：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]；
數據流左移16位，相當於擴大256×256倍，再除以生成多項式0x11021，做不借位的除法運算（相當於按位異或），所得的余數就是CRC校驗碼。
發送時的數據流為6字節：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]、CRC[1]、CRC[0]；
注意：使用長除法進行計算式，需要將除數多項式與預置位0x0000或0xFFFF異或以后再進行計算。
II、計算機算法1（比特型算法）：
1)將擴大后的數據流（6字節）高16位（BYTE[3]、BYTE[2]）放入一個長度為16的寄存器；
2)如果寄存器的首位為1，將寄存器左移1位(寄存器的最低位從下一個字節獲得)，再與生成多項式的簡記式異或；
否則僅將寄存器左移1位(寄存器的最低位從下一個字節獲得)；
3)重復第2步，直到數據流（6字節）全部移入寄存器；
4)寄存器中的值則為CRC校驗碼CRC[1]、CRC[0]。
III、計算機算法2（字節型算法）：256^n表示256的n次方
把按字節排列的數據流表示成數學多項式，設數據流為BYTE[n]BYTE[n－1]BYTE[n－2]、、、BYTE[1]BYTE[0]，表示成數學表達式為BYTE[n]×256^n+BYTE[n-1]×256^(n-1)
+...+BYTE[1]*256+BYTE[0]，在這里+表示為異或運算。設生成多項式為G17（17bit），CRC碼為CRC16。
則，CRC16＝(BYTE[n]×256^n+BYTE[n-1]×256^(n-1)+...+BYTE[1]×256+BYTE[0])×256^2/G17，即數據流左移16位，再除以生成多項式G17。
先變換BYTE[n-1]、BYTE[n-1]擴大后的形式，
CRC16＝BYTE[n]×256^n×256^2/G17+BYTE[n-1]×256^(n-1)×256^2/G17+...+BYTE[1]×256×256^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝(Z[n]+Y[n]/G17)×256^n+BYTE[n-1]×256^(n-1)×256^2/G17+...+BYTE[1]×256×256^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝Z[n]×256^n+{Y[n]×256/G17+BYTE[n-1]×256^2/G17}×256^(n-1)+...+BYTE[1]×256×256^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝Z[n]×256^n+{(YH8[n]×256+YHL[n])×256/G17+BYTE[n-1]×256^2/G17}×256^(n-1)+...+BYTE[1]×256×256^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
＝Z[n]×256^n+{YHL[n]×256/G17+(YH8[n]+BYTE[n-1])×256^2/G17}×256^(n-1)+...+BYTE[1]×256×256^2/G17+BYTE[0]×256^2/G17
這樣就推導出，BYTE[n-1]字節的CRC校驗碼為{YHL[n]×256/G17+(YH8[n]+BYTE[n-1])×256^2/G17}，即上一字節CRC校驗碼Y[n]的高8位（YH8[n]）與本字節BYTE[n-1]異或，
該結果單獨計算CRC校驗碼（即單字節的16位CRC校驗碼，對單字節可建立表格，預先生成對應的16位CRC校驗碼），所得的CRC校驗碼與上一字節CRC校驗碼Y[n]的低8位（YL8[n]）
乘以256（即左移8位）異或。然后依次逐個字節求出CRC，直到BYTE[0]。
字節型算法的一般描述為：本字節的CRC碼，等於上一字節CRC碼的低8位左移8位，與上一字節CRC右移8位同本字節異或后所得的CRC碼異或。
字節型算法如下：
1)CRC寄存器組初始化為全"0"(0x0000)。（注意：CRC寄存器組初始化全為1時，最后CRC應取反。）
2)CRC寄存器組向左移8位,並保存到CRC寄存器組。
3)原CRC寄存器組高8位（右移8位）與數據字節進行異或運算，得出一個指向值表的索引。
4)索引所指的表值與CRC寄存器組做異或運算。
5)數據指針加1，如果數據沒有全部處理完，則重復步驟2)。
6)得出CRC。
CRC CCITT—1，“-1”的意思是CRC的初值為0Xffff。
方法1：將存有數據的字節數組進行逐位計算，求得字節形式的CRC
typedef unsigned __int16 INT16U;
#define CRC_SEED 0xFFFF // 該位稱為預置值，使用人工算法（長除法）時 需要將除數多項式先與該與職位 異或 ，才能得到最后的除數多項式
#define POLY16 0x1021 // 該位為簡式書寫 實際為0x11021
INT16U crc16(unsigned char *buf,unsigned short length)
{
INT16U shift,data,val;
int i;
shift = CRC_SEED;
for(i=0;i<length;i++) {
if((i % 8) == 0)
data = (*buf++)<<8;
val = shift ^ data;
shift = shift<<1;
data = data <<1;
if(val&0x8000)
shift = shift ^ POLY16;
}
return shift;
}
2、查表法
static unsigned short ccitt_table[256] = {
0x0000, 0x1021, 0x2042, 0x3063, 0x4084, 0x50A5, 0x60C6, 0x70E7,
0x8108, 0x9129, 0xA14A, 0xB16B, 0xC18C, 0xD1AD, 0xE1CE, 0xF1EF,
0x1231, 0x0210, 0x3273, 0x2252, 0x52B5, 0x4294, 0x72F7, 0x62D6,
0x9339, 0x8318, 0xB37B, 0xA35A, 0xD3BD, 0xC39C, 0xF3FF, 0xE3DE,
0x2462, 0x3443, 0x0420, 0x1401, 0x64E6, 0x74C7, 0x44A4, 0x5485,
0xA56A, 0xB54B, 0x8528, 0x9509, 0xE5EE, 0xF5CF, 0xC5AC, 0xD58D,
0x3653, 0x2672, 0x1611, 0x0630, 0x76D7, 0x66F6, 0x5695, 0x46B4,
0xB75B, 0xA77A, 0x9719, 0x8738, 0xF7DF, 0xE7FE, 0xD79D, 0xC7BC,
0x48C4, 0x58E5, 0x6886, 0x78A7, 0x0840, 0x1861, 0x2802, 0x3823,
0xC9CC, 0xD9ED, 0xE98E, 0xF9AF, 0x8948, 0x9969, 0xA90A, 0xB92B,
0x5AF5, 0x4AD4, 0x7AB7, 0x6A96, 0x1A71, 0x0A50, 0x3A33, 0x2A12,
0xDBFD, 0xCBDC, 0xFBBF, 0xEB9E, 0x9B79, 0x8B58, 0xBB3B, 0xAB1A,
0x6CA6, 0x7C87, 0x4CE4, 0x5CC5, 0x2C22, 0x3C03, 0x0C60, 0x1C41,
0xEDAE, 0xFD8F, 0xCDEC, 0xDDCD, 0xAD2A, 0xBD0B, 0x8D68, 0x9D49,
0x7E97, 0x6EB6, 0x5ED5, 0x4EF4, 0x3E13, 0x2E32, 0x1E51, 0x0E70,
0xFF9F, 0xEFBE, 0xDFDD, 0xCFFC, 0xBF1B, 0xAF3A, 0x9F59, 0x8F78,
0x9188, 0x81A9, 0xB1CA, 0xA1EB, 0xD10C, 0xC12D, 0xF14E, 0xE16F,
0x1080, 0x00A1, 0x30C2, 0x20E3, 0x5004, 0x4025, 0x7046, 0x6067,
0x83B9, 0x9398, 0xA3FB, 0xB3DA, 0xC33D, 0xD31C, 0xE37F, 0xF35E,
0x02B1, 0x1290, 0x22F3, 0x32D2, 0x4235, 0x5214, 0x6277, 0x7256,
0xB5EA, 0xA5CB, 0x95A8, 0x8589, 0xF56E, 0xE54F, 0xD52C, 0xC50D,
0x34E2, 0x24C3, 0x14A0, 0x0481, 0x7466, 0x6447, 0x5424, 0x4405,
0xA7DB, 0xB7FA, 0x8799, 0x97B8, 0xE75F, 0xF77E, 0xC71D, 0xD73C,
0x26D3, 0x36F2, 0x0691, 0x16B0, 0x6657, 0x7676, 0x4615, 0x5634,
0xD94C, 0xC96D, 0xF90E, 0xE92F, 0x99C8, 0x89E9, 0xB98A, 0xA9AB,
0x5844, 0x4865, 0x7806, 0x6827, 0x18C0, 0x08E1, 0x3882, 0x28A3,
0xCB7D, 0xDB5C, 0xEB3F, 0xFB1E, 0x8BF9, 0x9BD8, 0xABBB, 0xBB9A,
0x4A75, 0x5A54, 0x6A37, 0x7A16, 0x0AF1, 0x1AD0, 0x2AB3, 0x3A92,
0xFD2E, 0xED0F, 0xDD6C, 0xCD4D, 0xBDAA, 0xAD8B, 0x9DE8, 0x8DC9,
0x7C26, 0x6C07, 0x5C64, 0x4C45, 0x3CA2, 0x2C83, 0x1CE0, 0x0CC1,
0xEF1F, 0xFF3E, 0xCF5D, 0xDF7C, 0xAF9B, 0xBFBA, 0x8FD9, 0x9FF8,
0x6E17, 0x7E36, 0x4E55, 0x5E74, 0x2E93, 0x3EB2, 0x0ED1, 0x1EF0
};
unsigned short crc_ccitt(unsigned char *q, int len)
{
unsigned short crc = 0;
while (len-- > 0)
crc = ccitt_table[(crc >> 8 ^ *q++) & 0xff] ^ (crc << 8);
return ~crc
}