1. 參考論文

　　Reweighted Random Walks for Graph Matching【1】

　　The pagerank citation ranking: Bringing order to the web【2】

　　 A spectral technique for correspondence problems using pairwise constraints【3】

2. 論文概述

　　論文提出了全新的思路——馬爾科夫鏈去解決圖匹配問題，提出了“基本版” Random Walk 並從隨機游走角度恰好解釋了【3】的譜方法SM的理論。隨后根據【2】的思路改進成 RRM，通過實驗證明其效果還是蠻不錯的。

3. 論文介紹

　　3.1 傳統問題描述

　　傳統的圖匹配問題，優化的目標函數為：

　　通過限制條件可以看出這是 IQP (integer quadratic program) 問題，其中 w 是兩個圖的相似度矩陣，x 是排列矩陣的列向量化（vec）

　　3.2 Markov角度問題描述

　　這是論文最核心的地方，即如何將傳統的圖匹配問轉化為隨機過程Markov的問題。我們先看平時場見的相似度矩陣 w 的形式：

觀察上圖(g)，可以發現不管行、列，其坐標每一項代表含義都是兩圖中兩個點的假設對應關系，如 1a 。我們最終的目的也是找到類似如此的對應關系，只不過這里借助的是相似度矩陣。

　　那么，作者就是從相似度矩陣出發，將其改造成隨機游走模型，如圖：

兩個圖P、Q的點的對應關系就當作Grw的結點，而相似度矩陣的對角線上的值（即一階點的對應關系）當作Grw的 attribute，相似度矩陣非對角線上的 attribute 當作Grw的兩個頂點（如13--22）構成的邊的值。這樣一來，我們將相似度矩陣就變換成了Grw的形式，同時，整個圖匹配問題，變成了在改圖上的隨機游走過程，最終的目標成了在Grw上選點的過程—— To select the nodes in Grw（ selecting reliable nodes in the Grw）

　　而如何選點，論文借鑒了【2】.

　　3.3 轉移矩陣

　　Markov 過程需要一個轉移矩陣（概率矩陣），那么對應到這里，怎么構建呢？首先可以明確的是，肯定是從 w 入手，將其改造成轉移矩陣——每行和為1，每一項 ≥ 0（滿足）。

　　對於前者條件，一種常見的思路是：

即求 w 每一行的和，然后改行分別處以該數——但是其弊處明顯，文中提到這種做法會放大不匹配點的概率，即相似度矩陣本來是相似度值的大小，通過除法，會削弱相似度大的值，反之放大原本小的值的匹配概率（如 1 0 2；3 0 6；---->均為 1/3 0 2/3）

　　作者采用將 w 矩陣每一項均除以 max(sum(和))，即以此做法保護原來相似度值較大的點。思路是這樣，然后為了滿足Markov的sum（行）=1的特點，需要改造轉移矩陣：

其中左式 P 就是轉移矩陣，其中dmax = max(sum(行和))，d(向量)是每行和，式子第一項就是為了滿足轉移矩陣行和為1，同時底部第二行是為了保證P是個方陣，原本是 xP，既然 P 是多了一項，所以改造x，引入（x xabs）P，即如上圖右邊式子，上標n代表轉移次數

　　而引入 xabs，其實就是對Grw再此進行改造，增加一個虛擬結點（absorb 吸收點），因為 P 的轉移概率是（0000....000 1）, 即恰好代表 nm*nm+1 這個結點不會轉移到其他點，只能自轉移，概率為1。

　　如下圖，就是引入該 abs 的圖

　　3.4 為什么求解Markov鏈的穩態就是結果

　　論文最終就是通過 P 轉移矩陣，求得 x 的穩態（穩態Markov鏈），我想因為 x 的初始分布（應該）可以平均分配（即隨機游走開始（1/mn*mn 1/mn*mn.....）），而Grw的edge代表了相似度，進一步該相似度被轉化成了P（即概率表示），那么最終得到的 x 的值（再還原回矩陣）代表了兩兩結點如何匹配的score，然后使用匈牙利算法即可選出該x還原回來的矩陣的最佳匹配score

　　至於為什么穩態（轉移矩陣n次冪）一定存在：

　　但是如果按上述設計轉移矩陣 P，其最終的迭代結果是（00000....000 1）,所以如果迭代到一定次數即可，得到近似解

　　3.5 RM與SM效果的一致性證明

　　作者提到，RM 是從隨機游走角度解釋了譜方法【2】的做法（即選取 w 的最大特征值），證明如下：

　　首先引入一個概率分布

其中 X^(n) 是隨機變量表示（2）轉移公式中節點在n時刻的位置，x(hat)ia(n) 是如上定義的概率，表示為游走到absorb node 點的條件概率。同時記

同時給出定義、定理：

然后

這里一定要注意，個人覺得，按照上述P的轉移矩陣， XP---XPP----XPPP..... 最后X 一定變成了（0000 1），前面提過這點。所以這里 xhat(n) 表示的是條件概率，即不是以任意點開始游走，然后均以 absorb node 點為最終結果的的概率，也就是沒有算到最后穩態（迭代到穩態之前停止），那么

根據 Perron Frobenius theorem，① w 是不可約的 ② x hat 是非負的，則上述 “lamda” 是最大左特征值，對應的 x hat 是特征向量。

而這正好同SM【3】觀點相同，得到近似解，則只要求 w 的最大特征向量，隨后矩陣化得到排列矩陣

　 3.6 Reweighted Random Walk

　　通過RW，已經達到了SM的效果，更進一步，作者還是根據【2】的思路設計了RRW——作者給出的RW的不足的解釋是IQP的subject限制條件未在Markov中體現（這里我不理解，是≤1這個條件未滿足？我覺得RRW最大的好處就是inflation，①在游走的時候讓相似度大的點得到更到的被選概率②jump的存在提供了游走的更多狀態空間，詳見下）：