背包問題之01背包 全詳解（最淺顯易懂）

01背包是一種非常經典的動態規划問題，這里對01背包問題進行詳細解讀。

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01背包問題題目描述

有 $N$ 件物品和一個容量為 $V$ 的背包。第 $i$件物品的體積是 $c[i]$ ，價值是 $w[i]$ ，求將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

01背包問題解析

對於所有的動態規划問題，第一步都是確定狀態。我們定義狀態 $dp[i][j]$ 是表示目前正在枚舉第 $i$ 個物品，目前已取的總體積為 $j$，最大價值為 $dp[i][j]$。
第二步自然是找狀態轉移方程。
首先我們注意一點：物品只有取和不取兩種選擇，這是符合我們日常生活的。狀態轉移方程就需要從這里為突破口來思考：
(1)：假如我們不取這個物品，那么 $dp[i][j]$ 肯定是能從上一個物品，同樣體積轉移過來的，所以 $dp[i][j] = dp[i - 1][j]$。
(2)：假如我們取這個物品,那么 $dp[i][j]$ 是從什么情況轉移呢？思考一下，首先可以得出， $dp[i][j]$ 肯定可以從上一個物品轉移過來，那可以從什么體積轉移呢？我們注意到，對於 $dp[i][j]$ ，它的當前取到的體積為 $j$，由於我們取了這個物品，所以上一個物品的體積為 $j - c[i]$。所以我們可以得出， $dp[i][j]$ 可以從 $dp[i - 1][j - c[i]]$ 轉移過來，由於我們取了這個物品，所以還要加上這個物品的價值 $w[i]$ 。
所以我們可以得出01背包的狀態轉移方程（很重要，盡量背下來！！）
$j >= c[i]$ 時， $dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - c[i]] + w[i])$
$j <c[i]$ 時， $dp[i][j] = dp[i - 1][j]$。

上代碼：

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

int dp[21][1010];
int w[21], c[21];
int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> w[i] >> c[i];
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= V; j++) {
            if (j >= c[i]) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    cout << dp[N][V] << endl;
    return 0;
}

01背包滾動數組空間優化

我們分析一下空間復雜度： $O(NV)$，顯然較大，我們要優化一下，用什么優化呢？
我們可以用滾動數組！
觀察轉移方程，易得 $dp[i][j]$ 只從 $dp[i - 1][j]$ 和 $dp[i - 1][j - c[i]]$轉移，所以可以用一個 $flag$代替 $i$，用 $1 - flag$ 代替 $i - 1$。

這樣只需要定義 $dp[2][maxn]$ ,大大節省了空間。

上代碼：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int dp[2][1010];
int w[21], c[21];

int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> w[i] >> c[i];
    }
    int flag = 1;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = 0;j <= V; j++) {
            if(j >= c[i]) {
                dp[flag][j] = max(dp[1 - flag][j - c[i]] + w[i], dp[1 - flag][j]);
	    } else {
                dp[flag][j] = dp[1 - flag][j];
	    }
	}
        flag = 1 - flag;
    }
    cout << dp[1 - flag][V] << endl;
    return 0;
}

01背包空間優化

這里給大家介紹真正的空間優化。

如果我們將 $dp$ 數組只用來表示體積，那么我們可以讓內層循環的 $j$ 從 $V$ 到 $0$ 枚舉，那么當前狀態轉移方程的 $dp[j]$ 和 $dp[j - c[i]]$ 由於我們沒有更新，所以仍然是計算上一輪 $i - 1$ 個物品的，就是二維狀態下的 $dp[1 - flag][j]$ 和 $dp[i - flag][j - c[i]]$。所以現在我們的轉移方程是：
$dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i])$

上代碼：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int dp[1010];
int w[21], c[21];

int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> w[i] >> c[i];
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
		for (int j = V; j >= c[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j - c[i]] + w[i], dp[j]);
		}
    }
    cout << dp[V] << endl;
    return 0;
}

課后習題

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開心的金明