最大權完美匹配：KM算法的優化

KM算法

設二分圖的兩部分點集分別為 $X=\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$ 和 $Y=\{Y_1, Y_2, \ldots, Y_m\}$, $\left<X_i, Y_j\right>$ 的邊權為 $w_{ij}$.

給兩部分點集分別賦點權 $\{A_i\}, \{B_i\}$, 使得 $A_i+B_j \ge w_{ij}$. 取等的邊的生成子圖叫做相等子圖。那么相等子圖的完美匹配就是最大權匹配。我們需要適當選取權值，使相等子圖有完美匹配。

算法流程如下：

1. 令 $X=\emptyset$, $B_j=0$.
2. 對於 $k=1, 2, \ldots, n$:
   1. 在 $X$ 中加入 $X_k$, 取 $A_k=\max\{w_{kj}\}$.
   2. 搜索一條從 $X_k$ 到 $Y$ 中未匹配點的交錯路。
   3. 如果交錯路存在：
      1. 修改匹配。
      2. 令 $k \gets k+1$ 重復 $(2)$.
   4. 如果交錯路不存在，記搜索樹（此時叫做交錯樹 $M$）頂點集與 $X$ 的交為 $X'$, 與 $Y$ 的交為 $Y'$.
      1. 取 $d=\min\{A_i+B_j-w_{ij} \mid X_i \in X', \left<X_i, Y_j\right> \notin M\}$.
      2. 將 $X'$ 中的所有點權減小 $d$, $Y'$ 中的所有點權增大 $d$. 此時 $A_i+B_j \ge w_{ij}$ 仍然滿足，交錯樹上的邊仍然屬於相等子圖，且至少有一條與交錯樹相鄰的相等子圖中的邊。
      3. 重復 $(2.2)$.

KM算法需要對每回修改后的子圖重新搜索交錯路，時間復雜度可達 $O(n^4)$.

優化

由於原交錯樹仍然是可用的，我們考慮不重新搜索交錯路，而是在原交錯樹上直接擴展新邊。

具體地，我們在加入 $X_k$ 的過程中，由 $X_k$ 開始擴展交錯樹。

對於每個 $Y'$ 中的點，記錄它的父結點；對於 $Y_j \in Y \setminus Y'$, 我們維護 $slack_j=\min\{A_i+B_j-w_{ij}\ \mid X_i \in X'\}$, 取得最小值的 $X_i$ 是它的准父結點（有多個任取一個）。

擴展的流程是：

1. 取出 $d=\min\{slack_j\}$. 特別地，當 $d=0$ 是就是繼續沿原相等子圖擴展。
2. 將 $X'$ 中的所有點權減小 $d$, $Y'$ 中的所有點權增大 $d$, 相應地，所有 $slack$ 減去 $d$.
3. 將 $slack_j$ 取得最小值的 $Y_j$（有多個任取一個）加入 $Y'$, $Y_j$ 的父結點就是原准父結點。
4. 若所加入的 $Y_j$ 還未匹配，說明已經找到交錯路，順着從 $X_k$ 到 $Y_j$ 的路徑匹配。
5. 若所加入的 $Y_j$ 已經匹配，將其匹配點加入 $X'$, 更新 $Y'$ 中各點的 $slack$ 和准父結點，重復擴展流程。

在實現上，我們記 $match_j$ 表示 $Y_j$ 的匹配點，$pre_j$ 表示 $Y_j$ 的（准）父結點的匹配點，不存在記為 $0$.

示例代碼

示例：假設 $n=m \le 500$, 所有邊權和答案絕對值小於 $10^{18}$. 輸入 $n$ 和邊權，輸出 $Y_j$ 的匹配點。

#include <bits/stdc++.h>
const int N=501;
int n, match[N];
bool vis[N];
long long f[N][N], a[N], b[N], slack[N], pre[N];
template<class T1, class T2> bool cmin(T1 &a, const T2 &b)
{
    return b<a?(a=b, true):false;
}
template<class T1, class T2> bool cmax(T1 &a, const T2 &b)
{
    return a<b?(a=b, true):false;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            scanf("%d", f[i]+j);
        a[i]=*std::max_element(f[i]+1, f[i]+n+1);
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        int x=0, cho;
        memset(vis+1, 0, n);
        memset(pre+1, 0, n*sizeof(int));
        memset(slack+1, 63, n*sizeof(long long));
        match[0]=i;
        do {
            int u=match[x];
            long long min=1e18;
            vis[x]=true;
            for(int v=1; v<=n; ++v) {
                if(!vis[v]) {
                    long long t=a[u]+b[v]-f[u][v];
                    if(cmin(slack[v], t))
                        pre[v]=x;
                    if(cmin(min, slack[v]))
                        cho=v;
                }
            }
            for(int j=0; j<=n; ++j) {
                if(vis[j]) {
                    a[match[j]]-=min;
                    b[j]+=min;
                } else
                    slack[j]-=min;
            }
            x=cho;
        } while(match[x]);
        while(x) {
            match[x]=match[pre[x]];
            x=pre[x];
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        printf("%d%c", match[i], " \n"[i==n]);
    return 0;
}