一、前言
這幾天想學一學紅黑樹這種數據結構，於是上網找了很多篇博客，初看嚇了一跳，紅黑樹竟然如此復雜。連續看了幾篇博客后，算是對紅黑樹有了一些了解，但是它的原理卻並不是特別理解。網上的博客，千篇一律的都是在敘述紅黑樹的操作，如何插入節點、刪除節點，旋轉、變色等，只關注如何正確構建一棵紅黑樹，但是卻很少提及為什么這么做。這篇博客我就來記錄一些我所知道的紅黑樹中比較重要的東西，以及談一談我的理解。
我不會描述紅黑樹的具體實現，因為閱讀紅黑樹具體實現的過程中，我發現這真的不是很重要，沒有太大的意義（這絕對不是自我安慰⊙﹏⊙∥），真正重要的是紅黑樹的思想。如果想要了解紅黑樹的具體實現，建議閱讀這篇文章：https://mp.weixin.qq.com/s/hGHJonK999TAVJakPDNAkg
二、正文
2.1 二叉搜索樹和平衡二叉樹
在談紅黑樹之前，先來說一說二叉搜索樹以及平衡二叉樹，因為平衡二叉樹是為了彌補二叉搜索樹而發明出來的，而紅黑樹又是為了彌補平衡二叉樹。
（1）二叉搜索樹
二叉搜索樹比較簡單，它是一棵二叉樹，而且滿足這樣一個性質：對於樹上的每一個節點，它左子樹上的節點的值都比它小，而右子樹上的節點的值都比它大。如下，就是一棵二叉搜索樹：
當我們需要往一棵二叉搜索樹中插入節點時，只需要從根節點開始，依次比較，若比根節點小，則向左走，繼續和左子節點比較，反之繼續和右子節點比較，以此類推。這樣的操作其實就和二分差不多，在節點值分布均勻的情況下，也就是樹的結構如上所示時，查找的時間復雜度為O（logN），因為二叉搜索樹的查詢完全復雜度依賴於樹的深度。所以，它有一個很大的缺陷，就是可能出現如下情況：
我們每次插入的節點都比最小值要小，於是最終所有的節點就連成了一條鏈，此時深度為N，查找的時間復雜度就是O（N）了。為了解決這個問題，於是又有了平衡二叉樹。關於二叉搜索樹，可以參考這個博客：https://www.jianshu.com/p/ff4b93b088eb。
（2）平衡二叉樹
平衡二叉樹也是一棵二叉搜索樹，但是它還有一個性質，就是這棵樹上的每一個節點，其左子樹和右子樹的高度差都不超過一。比如圖一中的二叉樹，它就時一棵平衡二叉樹，而下面這張圖中的樹就不是平衡二叉樹，因為節點9和節點5都不平衡，它們的左右子樹的高度差都是2。
當發生不平衡的情況時，可以通過左旋和右旋的方式，在不改變二叉搜索樹的性質的前提下，將樹調整為平衡狀態，這就是平衡二叉樹。對於左旋和右旋的具體實現，我這里就不描述了，想要了解可以參考這篇博客：https://www.jianshu.com/p/655d83f9ba7b。
2.2 有了二叉搜索樹和平衡二叉樹，為什么還要紅黑樹
這個問題是一個面試題，下面我就來簡單敘述一下。首先，二叉搜索樹在極端情況下會變成一個鏈表，從而導致查詢的時間復雜度大大提高，變成線性復雜度，而平衡二叉樹正是為了解決這個問題才被發明出來。但是，平衡二叉樹也有一定的局限。對於平衡二叉樹來說，每個節點的子樹的高度差不能超過1，一旦出現違反的情況，就需要進行左旋或者右旋操作，從而調整二叉樹的高度。但是，在插入和刪除節點的過程中，平衡度超過1是經常發生的事情，這也就導致了調整操作頻繁地發生，從而提高時間復雜度。也就是說，這種追求絕對平衡的行為，並不是一個好的做法。
紅黑樹的出現正是為了解決平衡二叉樹的問題，它是平衡二叉樹的變形，或者說升級。紅黑樹並不追求絕對的平衡，它實現的是近似的平衡，這樣破壞規則導致需要調整的情況就會大大減少，而且每次也只需要少量的調整即可恢復。也就是說，他在平衡和效率之間做了一個折中。但是統計發現，這種折中對查找的效率並沒有多大的降低，這也就導致了紅黑樹在大多數情況下要優於平衡二叉樹。而紅黑樹的這種折中，依靠的就是它五條性質，或者說五條約束來實現。
2.3 紅黑樹的五大性質
這里先放出紅黑樹的五大性質：
- 樹中的所有節點，要么是紅色，要么是黑色；
- 樹的根節點是黑色；
- 樹中的葉子節點是黑色；（注意：這里的葉子節點不是指沒有子節點的節點，而是指的空節點，比如某個節點沒有左子節點，那這個不存在的左子節點其實就是這里說的葉子節點）
- 紅色節點的子節點一定是黑色，也就是說沒有兩個連在一起的紅色節點；
- 每個節點到任意一個葉子節點，經過的黑色節點數量是相等的；
這五條性質單獨分開來看都很好理解，但是放在一起就有點迷惑了，為什么是這五條性質，它們之間有什么關系？關系肯定是有的，發明紅黑樹的專家，經過大量的數學推導，理論驗證，才組合出這五條性質，它們相輔相成，共同維護了紅黑樹的結構。就像機器人三大准則一樣，相輔相成，完全地約束了機器人的行為。這里就來簡單描述幾條紅黑樹的定理，它們都是由上述結論推導而來。
2.4 紅黑樹的定理
（1）紅黑樹從根節點到葉子節點的最長路徑，不會大於最短路徑的兩倍
這條定理是怎么來的呢？它是通過上面的定理推導而來。我們看上述性質5可知，從根節點到任意一個葉子節點，經過的黑色節點數目是相同的。而性質4又規定，不能有兩個紅色節點連在一起。於是我們這樣考慮，假設從根節點到每個葉子節點，都是經過3個黑色節點，那么怎樣才能讓路徑盡可能長？答案當然是盡量在黑色節點中插入紅色節點，用紅色節點充數。但是由於性質4，所以紅色節點不能多放。於是，理論上的最長路徑，一定是一個黑節點，連着一個紅節點，再連着一個黑節點，以此類推。我們之前假設每條路徑都是3個黑節點，再加上性質2說根節點一定是黑色，所以從根節點到子節點最多只能有6個節點，三黑三紅交叉連接。那理論上的最短路徑又是如何？當然是不包含任何一個紅色節點，也就是只有3個黑節點。也就是說，理論上，最長路徑，最多是最短路徑的兩倍。這個結論就限制了紅黑樹的最大平衡差，也就保證了不會出現圖二這種情況。
（2）一棵含有n個節點的紅黑樹的高度至多為2log(n+1)
這個結論是經過一系列數學推導得出的，比較復雜，我也沒有仔細研究過，想要了解的可以看看這篇博客：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html#a2。
從這個結論可以看出什么？紅黑樹也是一個二叉搜索樹，而二叉搜索樹的查找次數取決於樹的深度。此結論說明紅黑樹的高度至多為2log(n+1)，也就是說紅黑樹的查找效率也是O（logn）級別的，和平衡二叉樹近似，再加上紅黑樹的調整平衡的次數相對較少，所以總體來說，紅黑樹要優於平衡二叉樹。
三、總結
最后我忍不住吐槽一下，我看了大量紅黑樹的講解博客，都是千篇一律的在描述如何操作構建一棵紅黑樹，如何操作能夠不違反紅黑樹的這五條性質，一旦講完操作就戛然而止。在學習紅黑樹時，我硬着頭皮把紅黑樹的操作看完，才發現這些操作根本沒有太大的意義，它們只不過是列舉操作紅黑樹的各種情況，告訴你什么時候應該怎么做而已，而你只能背下這些操作，但是完全不能理解這些操作有什么意義，只知道它們唯一的作用就是維持這五大性質。仿佛將紅黑樹的操作實現強行記下，寫出代碼，就是學會了紅黑樹，理解了紅黑樹。可是實際上，這五條性質只是結論，只是他人研究的最終產物罷了，而紅黑樹僅僅是在使用這些結論。如果只是學會了紅黑樹的實現方式，僅僅只是在使用這些結論，和調API有什么區別。但是，網上的博客都是千篇一律，偏偏標題取得是一個比一個厲害，什么《學會紅黑樹這一篇就夠了》，《十分鍾徹底理解紅黑樹》，《看完這篇博客，再也不怕面試管問紅黑樹了》......這些標題的博客數不勝數，但是內容卻都是在介紹操作，極少敘述思想。一想到我花了大量時間，最后發現自己看的都是些意義不大的實現細節，就感覺對不起自己。
我個人認為，學習算法和數據結構，真正重要的是理解它的思想，而不是如何做。說句實話，如果不是做算法相關的工作，工作中真的需要我們自己寫紅黑樹嗎？可以說基本上不可能用到。當然，不是說研究具體實現是一種錯誤的行為，研究算法和數據結構的實現能夠鍛煉自己的編碼能力，是有好處的。但是大部分人是為了學習數據結構本身，如果只學會了寫代碼，不知道原理，那就有點本末倒置了，而且很快就會忘記。