紅黑樹
紅黑樹顧名思義就是節點是紅色或者黑色的平衡二叉樹，它通過顏色的約束來維持着二叉樹的平衡。對於一棵有效的紅黑樹二叉樹而言我們必須增加如下規則：
1、每個節點都只能是紅色或者黑色
2、根節點是黑色
3、每個葉節點（NIL節點，空節點）是黑色的。
4、如果一個結點是紅的，則它兩個子節點都是黑的。也就是說在一條路徑上不能出現相鄰的兩個紅色結點。
5、從任一節點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色節點。
這些約束強制了紅黑樹的關鍵性質: 從根到葉子的最長的可能路徑不多於最短的可能路徑的兩倍長。結果是這棵樹大致上是平衡的。因為操作比如插入、刪除和查找某個值的最壞情況時間都要求與樹的高度成比例，這個在高度上的理論上限允許紅黑樹在最壞情況下都是高效的，而不同於普通的二叉查找樹。所以紅黑樹它是復雜而高效的，其檢索效率O(log n)。
紅黑樹的插入操作
如果插入第一個節點，我們直接用樹根記錄這個節點，並設置為黑色，否則作遞歸查找插入。
默認插入的節點顏色都是紅色，因為插入黑色節點會破壞根路徑上的黑色節點總數，但即使如此，也會出現連續紅色節點的情況。因此在一般的插入操作之后，出現紅黑樹約束條件不滿足的情況（稱為失去平衡）時，就必須要根據當前的紅黑樹的情況做相應的調整。和AVL樹的平衡調整通過旋轉操作的實現類似，紅黑樹的調整操作一般都是通過旋轉結合節點的變色操作來完成的。
- 叔父節點是黑色（若是空節點則默認為黑色）
這種情況下通過旋轉和變色操作可以使紅黑樹恢復平衡。但是考慮當前節點n和父節點p的位置又分為四種情況：
A、n是p左子節點，p是g的左子節點。
B、n是p右子節點，p是g的右子節點。
C、n是p左子節點，p是g的右子節點。
D、n是p右子節點，p是g的左子節點。
- 情況A：n是p左子節點，p是g的左子節點。針對該情況可以通過一次右旋轉操作，並將p設為黑色，g設為紅色完成重新平衡。
右旋操作的步驟是：將p掛接在g節點原來的位置（如果g原是根節點，需要考慮邊界條件），將p的右子樹x掛到g的左子節點，再把g掛在p的右子節點上，完成右旋操作。這里將最終旋轉結果的子樹的根節點作為旋轉軸（p節點），也就是說旋轉軸在旋轉結束后稱為新子樹的根節點！
- 情況B則需要使用左單旋操作來解決平衡問題，方法和情況A類似。
- 情況C：n是p左子節點，p是g的右子節點。針對該情況通過一次左旋，一次右旋操作（旋轉軸都是n，注意不是p），並將n設為黑色，g設為紅色完成重新平衡。
需要注意的是，由於此時新插入的節點是n，它的左右子樹x，y都是空節點，但即使如此，旋轉操作的結果需要將x，y新的位置設置正確（如果不把p和g的對應分支設置為空節點的話，就會破壞樹的結構）。在之后的其他操作中，待旋轉的節點n的左右子樹可能就不是空節點了。
- 情況D則需要使用一次右單旋，一次左單旋操作來解決平衡問題，方法和情況C類似。
- 叔父節點是紅色
當叔父節點是紅色時，則不能直接通過上述方式處理了（把前邊的所有情況的u節點看作紅色，會發現節點u和g是紅色沖突的）。但是我們可以交換g與p，u節點的顏色完成當前沖突的解決。
但是僅僅這樣做顏色交換是不夠的，因為祖父節點g的父節點（記作gp）如果也是紅色的話仍然會有沖突（g和gp是連續的紅色，違反規則2）。為了解決這樣的沖突，我們需要從當前插入點n向根節點root回溯兩次。
第一次回溯時處理所有擁有兩個紅色節點的節點，並按照上圖中的方式交換父節點g與子節點p，u的顏色，並暫時忽略gp和p的顏色沖突。如果根節點的兩個子節點也是這種情況，則在顏色交換完畢后重新將根節點設置為黑色。
第二次回溯專門處理連續的紅色節點沖突。由於經過第一遍的處理，在新插入點n的路徑上一定不存在同為紅色的兄弟節點了。而仍出現gp和p的紅色沖突時，gp的兄弟節點（gu）可以斷定為黑色，這樣就回歸前邊討論的叔父節點為黑色時的情況處理。
由於發生沖突的兩個紅色節點位置可能是任意的，因此會出現上述的四種旋轉情況。不過我們把靠近葉子的紅色節點（g）看作新插入的節點，這樣面對A，B情況則把p的父節點gp作為旋轉軸，旋轉后gp會是新子樹的根，而面對C，D情況時把p作為旋轉軸即可，旋轉后p為新子樹的根（因此可以把四種旋轉方式封裝起來）。
在第二次回溯時，雖然每次遇到紅色沖突旋轉后都會提升g和gp節點的位置（與根節點的距離減少），但是無論g和gp誰是新子樹的根都不會影響新插入節點n到根節點root路徑的回溯，而且一旦新子樹的根到達根節點（parent指針為空）就可以停止回溯了。
TreeMap數據結構
public class TreeMap<K,V> extends AbstractMap<K,V> implements NavigableMap<K,V>, Cloneable, java.io.Serializable
TreeMap繼承AbstractMap，實現NavigableMap、Cloneable、Serializable三個接口。其中AbstractMap表明TreeMap為一個Map即支持key-value的集合， NavigableMap則意味着它支持一系列的導航方法，具備針對給定搜索目標返回最接近匹配項的導航方法 。
TreeMap中同時也包含了如下幾個重要的屬性：
//比較器，因為TreeMap是有序的，通過comparator接口我們可以對TreeMap的內部排序進行精密的控制 private final Comparator<? super K> comparator; //TreeMap紅-黑節點，為TreeMap的內部類 private transient Entry<K,V> root = null; //容器大小 private transient int size = 0; //TreeMap修改次數 private transient int modCount = 0; //紅黑樹的節點顏色--紅色 private static final boolean RED = false; //紅黑樹的節點顏色--黑色 private static final boolean BLACK = true;
對於葉子節點Entry是TreeMap的內部類，它有幾個重要的屬性：
//鍵 K key; //值 V value; //左孩子 Entry<K,V> left = null; //右孩子 Entry<K,V> right = null; //父親 Entry<K,V> parent; //顏色 boolean color = BLACK;
TreeMap put()方法
在TreeMap的put()的實現方法中主要分為兩個步驟，第一：構建排序二叉樹，第二：平衡二叉樹。
對於排序二叉樹的創建，其添加節點的過程如下：
1、以根節點為初始節點進行檢索。
2、與當前節點進行比對，若新增節點值較大，則以當前節點的右子節點作為新的當前節點。否則以當前節點的左子節點作為新的當前節點。
3、循環遞歸2步驟知道檢索出合適的葉子節點為止。
4、將新增節點與3步驟中找到的節點進行比對，如果新增節點較大，則添加為右子節點；否則添加為左子節點。
public V put(K key, V value) { //用t表示二叉樹的當前節點 Entry<K,V> t = root; //t為null表示一個空樹，即TreeMap中沒有任何元素，直接插入 if (t == null) { //比較key值，個人覺得這句代碼沒有任何意義，空樹還需要比較、排序？ compare(key, key); // type (and possibly null) check //將新的key-value鍵值對創建為一個Entry節點，並將該節點賦予給root root = new Entry<>(key, value, null); //容器的size = 1，表示TreeMap集合中存在一個元素 size = 1; //修改次數 + 1 modCount++; return null; } int cmp; //cmp表示key排序的返回結果 Entry<K,V> parent; //父節點 // split comparator and comparable paths Comparator<? super K> cpr = comparator; //指定的排序算法 //如果cpr不為空，則采用既定的排序算法進行創建TreeMap集合 if (cpr != null) { do { parent = t; //parent指向上次循環后的t //比較新增節點的key和當前節點key的大小 cmp = cpr.compare(key, t.key); //cmp返回值小於0，表示新增節點的key小於當前節點的key，則以當前節點的左子節點作為新的當前節點 if (cmp < 0) t = t.left; //cmp返回值大於0，表示新增節點的key大於當前節點的key，則以當前節點的右子節點作為新的當前節點 else if (cmp > 0) t = t.right; //cmp返回值等於0，表示兩個key值相等，則新值覆蓋舊值，並返回新值 else return t.setValue(value); } while (t != null); } //如果cpr為空，則采用默認的排序算法進行創建TreeMap集合 else { if (key == null) //key值為空拋出異常 throw new NullPointerException(); /* 下面處理過程和上面一樣 */ Comparable<? super K> k = (Comparable<? super K>) key; do { parent = t; cmp = k.compareTo(t.key); if (cmp < 0) t = t.left; else if (cmp > 0) t = t.right; else return t.setValue(value); } while (t != null); } //將新增節點當做parent的子節點 Entry<K,V> e = new Entry<>(key, value, parent); //如果新增節點的key小於parent的key，則當做左子節點 if (cmp < 0) parent.left = e; //如果新增節點的key大於parent的key，則當做右子節點 else parent.right = e; /* * 上面已經完成了排序二叉樹的的構建，將新增節點插入該樹中的合適位置 * 下面fixAfterInsertion()方法就是對這棵樹進行調整、平衡，具體過程參考上面的五種情況 */ fixAfterInsertion(e); //TreeMap元素數量 + 1 size++; //TreeMap容器修改次數 + 1 modCount++; return null; }
上面代碼中do{}代碼塊是實現排序二叉樹的核心算法，通過該算法我們可以確認新增節點在該樹的正確位置。找到正確位置后將插入即可，這樣做了其實還沒有完成，因為我知道TreeMap的底層實現是紅黑樹，紅黑樹是一棵平衡排序二叉樹，普通的排序二叉樹可能會出現失衡的情況，所以下一步就是要進行調整。fixAfterInsertion(e); 調整的過程務必會涉及到紅黑樹的左旋、右旋、着色三個基本操作。代碼如下：
/** * 新增節點后的修復操作 * x 表示新增節點 */ private void fixAfterInsertion(Entry<K,V> x) { x.color = RED; //新增節點的顏色為紅色 //循環 直到 x不是根節點，且x的父節點不為紅色 while (x != null && x != root && x.parent.color == RED) { //如果X的父節點（P）是其父節點的父節點（G）的左節點 if (parentOf(x) == leftOf(parentOf(parentOf(x)))) { //獲取X的叔節點(U) Entry<K,V> y = rightOf(parentOf(parentOf(x))); //如果X的叔節點（U） 為紅色 if (colorOf(y) == RED) { //將X的父節點（P）設置為黑色 setColor(parentOf(x), BLACK); //將X的叔節點（U）設置為黑色 setColor(y, BLACK); //將X的父節點的父節點（G）設置紅色 setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); x = parentOf(parentOf(x)); } //如果X的叔節點（U為黑色） else { //如果X節點為其父節點（P）的右子樹，則進行左旋轉 if (x == rightOf(parentOf(x))) { //將X的父節點作為X x = parentOf(x); //右旋轉 rotateLeft(x); } //將X的父節點（P）設置為黑色 setColor(parentOf(x), BLACK); //將X的父節點的父節點（G）設置紅色 setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); //以X的父節點的父節點（G）為中心右旋轉 rotateRight(parentOf(parentOf(x))); } } //如果X的父節點（P）是其父節點的父節點（G）的右節點 else { //獲取X的叔節點（U） Entry<K,V> y = leftOf(parentOf(parentOf(x))); //如果X的叔節點（U） 為紅色 if (colorOf(y) == RED) { //將X的父節點（P）設置為黑色 setColor(parentOf(x), BLACK); //將X的叔節點（U）設置為黑色 setColor(y, BLACK); //將X的父節點的父節點（G）設置紅色 setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); x = parentOf(parentOf(x)); } //如果X的叔節點（U為黑色）；這里會存在兩種情況 else { //如果X節點為其父節點（P）的右子樹，則進行左旋轉 if (x == leftOf(parentOf(x))) { //將X的父節點作為X x = parentOf(x); //右旋轉 rotateRight(x); } //（情況五） //將X的父節點（P）設置為黑色 setColor(parentOf(x), BLACK); //將X的父節點的父節點（G）設置紅色 setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); //以X的父節點的父節點（G）為中心右旋轉 rotateLeft(parentOf(parentOf(x))); } } } //將根節點G強制設置為黑色 root.color = BLACK; }
-
對這段代碼的研究我們發現,其處理過程完全符合紅黑樹新增節點的處理過程。所以在看這段代碼的過程一定要對紅黑樹的新增節點過程有了解。在這個代碼中還包含幾個重要的操作。左旋(rotateLeft())、右旋（rotateRight()）、着色（setColor()）。
-
左旋：rotateLeft()
-
所謂左旋轉，就是將新增節點（N）當做其父節點（P），將其父節點P當做新增節點（N）的左子節點。即：G.left ---> N ,N.left ---> P。
private void rotateLeft(Entry<K,V> p) { if (p != null) { //獲取P的右子節點，其實這里就相當於新增節點N（情況四而言） Entry<K,V> r = p.right; //將R的左子樹設置為P的右子樹 p.right = r.left; //若R的左子樹不為空，則將P設置為R左子樹的父親 if (r.left != null) r.left.parent = p; //將P的父親設置R的父親 r.parent = p.parent; //如果P的父親為空，則將R設置為跟節點 if (p.parent == null) root = r; //如果P為其父節點（G）的左子樹，則將R設置為P父節點(G)左子樹 else if (p.parent.left == p) p.parent.left = r; //否則R設置為P的父節點（G）的右子樹 else p.parent.right = r; //將P設置為R的左子樹 r.left = p; //將R設置為P的父節點 p.parent = r; } }
右旋：rotateRight()
所謂右旋轉即，P.right ---> G、G.parent ---> P。
private void rotateRight(Entry<K,V> p) { if (p != null) { //將L設置為P的左子樹 Entry<K,V> l = p.left; //將L的右子樹設置為P的左子樹 p.left = l.right; //若L的右子樹不為空，則將P設置L的右子樹的父節點 if (l.right != null) l.right.parent = p; //將P的父節點設置為L的父節點 l.parent = p.parent; //如果P的父節點為空，則將L設置根節點 if (p.parent == null) root = l; //若P為其父節點的右子樹，則將L設置為P的父節點的右子樹 else if (p.parent.right == p) p.parent.right = l; //否則將L設置為P的父節點的左子樹 else p.parent.left = l; //將P設置為L的右子樹 l.right = p; //將L設置為P的父節點 p.parent = l; } }
我是天王蓋地虎的分割線
參考：http://blog.csdn.net/chenssy/article/details/26668941