數據庫學習摘記 —— 關系模式的函數依賴

關系與關系模式的聯系：

關系模式是相對穩定的，靜態的，是把所有元組刪去后的一張空表格，是對元組數據組織方式的結構描述，而關系卻是動態變化的，不穩定的，是將若干元組填入關系模式后得到的一個取值實例。每一個關系對應一個關系模式，每一個關系模式可以定義多個關系。

關系模式R(U)對應的具體關系通常用小寫字母r來表示。

函數依賴：

設R(U)是屬性集U={A1, A2, …, An}上的關系模式，X和Y是U的子集。若對R(U)的任一具體關系r中的任意兩個元組t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。則稱"X函數確定Y" 或"Y函數依賴於X"，記作X→Y，X為這個函數依賴的決定因素。

函數依賴要求R(U)的一切具體關系r都要滿足的約束條件。

若X→Y且Y→X，則記作X⇿Y

平凡函數依賴：X→Y，Y⊆X    // 對於任一關系模式，平凡函數依賴必然是成立的

非平凡函數依賴：X→Y，Y⊄X

完全函數依賴：

如果X→Y，且對於X的任何一個真子集X'，都有X不函數確定Y ，則稱Y對X完全函數依賴或者X完全決定Y，記作：

部分函數依賴：

如果X→Y，但Y不是完全函數依賴於X，則稱Y 對X部分函數依賴，記作：

傳遞函數依賴：

如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,則稱Z對X傳遞函數依賴，記作:

候選鍵：

對關系模式R(U)，設K⊆U，且K完全函數確定U，則K為能夠唯一確定關系中任何一個元組(實體)的最少屬性集合，稱K為R(U)的候選鍵或候選關鍵字。

【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候選鍵】

因G只在右邊出現，所以G一定不屬於候選碼

而B，D只在左邊出現，所以B，D一定屬於候選碼

BD的閉包還是BD，則對BD進行組合，除了G以外，BD可以跟A，C，E進行組合

先看ABD

ABD本身自包ABD，而AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的閉包為ABDCEG=U

再看BDC

CD→E，E→A，A→G，BDC本身自包，所以BDC的閉包為BDCEAG=U

最后看BDE

E→A，A→G，AB→C，BDE本身自包，所以BDE的閉包為BDEAGC=U

因為(ABD)、(BCD)、(BDE)的閉包都是ABCDEG所以本問題的候選碼有3個分別是ABC、BCD和BDE

主鍵：

通常在R(U)的多個候選鍵中任意選定一個候選鍵作為主鍵，也稱為主碼或主關鍵字。

當關系模式的屬性全體是候選鍵時，屬性全體也就是主鍵，可稱為全鍵或全碼。

主屬性與非主屬性：

對關系模式R(U)，包含在任何一個候選鍵中的屬性稱為主屬性，不包含在任何候選鍵中的屬性稱為非主屬性或非碼屬性。

外鍵：

對關系模式R(U)，設X⊆U。若X不是R(U)的主鍵，但X是另一個關系模式的主鍵，則稱X是R(U)的外鍵或外部關鍵字。

函數依賴的邏輯蘊涵：

對於滿足函數依賴集F的關系模式R(U，F)的任意一個具體關系r，若函數依賴X→Y都成立，則稱F邏輯蘊涵X→Y，記為FX→Y。

若在F中沒有X→Y函數依賴，但可以通過F中的現有函數依賴推導得出X→Y，則也記FX→Y。

F的閉包：

被函數依賴集F邏輯蘊涵的函數依賴所構成的集合，稱為F的閉包，記作F+。即：F+={X→Y | FX→Y}。顯然F⊆ F⁺

函數依賴完備集：

當函數依賴集F= F⁺

Armstrong公理系統：

自反律：如果Y⊆X⊆ U，則X→Y成立，即FX→Y。

增廣律：如果X→Y成立，則XZ→YZ 成立（XZ是X∪Z的簡單記法)，即若FX→Y，則FXZ→YZ。

傳遞律：如果X→Y，Y→Z成立，則X→Z成立，即若FX→Y，FY→Z，則FX→Z。

合並律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立，即若FX→Y，FX→Z，則FX→YZ。

偽傳遞律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立，即FX→Y，FWY→Z，則FWX→Z。

分解律：如果X→Y和Z⊆Y成立，那么X→Z成立，即若FX→Y，Z⊆Y，則F X→Z。

推論：對關系模式R(U)，設X⊆U，{A1, A2 ,…,Am}⊆U，則X→{A1, A2 ,…, Am}成立的充分必要條件是

X→Ai (i=1,2,…,m)成立。

屬性集X關於F的閉包X+F ：

顯然X⊆X⁺_F⊆U

閉包的計算：

設F是屬性集U上的函數依賴集,X,Y 是U的子集，則X→Y能由F根據Armstrong公理導出的充分必要條件是 Y⊆X⁺。

【設關系模式R(U)，其屬性集上函數依賴：F={AB→C, B→D, C→E, EC→B, AC→B}，令X={A, B}，求X⁺】

解：

第1次：

X(0)= Ø，X(1)={A, B}，F= Ø

由於X(0)≠X(1)，令X(0)＝X(1)={A, B}

函數依賴集F'={ AB→C, B→D}，令F=F-F'={C→E, EC→B, AC→B}，

將F'中的每一個函數依賴的右端屬性C,D並入X(1)中，即令X(1)={A, B}∪{C, D}={A, B, C, D}

第2次：

由於X(0)≠X(1)，令X(0)＝X(1)= {A, B, C, D}；

函數依賴集F'={C→E, AC→B}，令F=F-F'={EC→B}

將F'中的每一個函數依賴的右端屬性E, B並入X(1)中,即令X(1)={A, B, C, D }∪{E, B}={A, B, C, D, E}

第3次：

由於X(0)≠X(1)，令X(0)＝X(1)= {A, B, C, D, E }

函數依賴集F'={EC→B}，令F=F-F'= Ø

將F'中的每一個函數依賴的右端屬性B並入X(1)中，即令X(1)={A, B, C, D, E }∪{B}={A, B, C, D, E}

第4次：

由於X(0)=X(1)，輸出X(1)={A, B, C, D, E}=X⁺

{A,B}→U={A, B, C, D, E}，由於{A}U，{B}U，所以{A,B}是侯選鍵

函數依賴集的等價與覆蓋：

如果G⁺=F⁺，就說函數依賴集F與G等價，且F覆蓋G，G覆蓋F，它的充分必要條件是F⊆G⁺ ，G⊆F⁺

每個函數依賴集F都可以被一個右部只有單屬性的函數依賴集G所覆蓋。

最小函數依賴集，也稱為最小依賴集或最小覆蓋：

F中任一函數依賴的右部僅含有一個屬性。

F中不存在這樣的函數依賴X→A，使得F與F-{X→A}等價。    // 右部沒有冗余的函數依賴

F中不存在這樣的函數依賴X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}與F等價。    // 左部沒有冗余的屬性

每個函數依賴集F都有最小覆蓋，並且不唯一。

最小依賴集的計算：

首先將函數依賴集中的每一個依賴的右部進行分裂，再消除冗余函數依賴和每個函數依賴左部的冗余屬性。