關系數據結構
笛卡兒積：給定一組集合D1,D2,…,Dn，這些集合可以相同, 定義D1,D2,…,Dn 的笛卡爾積為：D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn) | diÎDi，i=l,2,…,n}，其中的每一個元素(d1,d2,…,dn)叫做一個n元組，元素中第i個值di叫做第i個分量。
關系：笛卡爾積D1×D2×…×Dn的任一個子集稱為 D1,D2,…,Dn 上的一個關系。關系是元組的集合，亦即實 體的集合。
域：集合 D1,D2,…,Dn是關系中元組的取值范圍，稱為關系的域。關系中的每一列對應一個域，也稱為關系的屬性，不同的列可以有相同的域，列名對應域名，即屬性名。
度：集合 D1,D2,…,Dn的n為關系的度。
候選鍵：能唯一地標識出一個元組的屬性或屬性組。
聯合鍵：兩個或兩個以上屬性組成的候選鍵。
全鍵：關系的全部屬性構成關系的唯一候選鍵。該關系稱為全鍵關系(All-Key Relation)
主鍵：在關系的多個候選鍵中選擇的一個候選鍵，用它作為元組的唯一標示。在一個關系中只能有一個主鍵。
外鍵：關系R中的一組屬性A不是關系R的主鍵，但A是另一個關系S的主鍵，則屬性組A就是關系R的外鍵。
關系模式：若U={A1, A2 …, An}為關系R的屬性集，則關系模式簡記為R(U)或R(A1, A2, …, An)
完整性規則
實體完整性規則：關系中每個元組的主鍵屬性對應的各個分量不能為空值。
參照完整性規則：設屬性組A是關系R的外鍵且A又是關系S的主鍵，則對於R中的每一個元組在屬性A上的值必須為：空值或者等於S中某一個元組的主鍵值。
實體完整性和參照完整性都是關系模型必須滿足的完整性約束條件，這些約束條件由RDBMS自動支持。
用戶定義的完整性：用戶根據具體應用而對數據附加的約束條件。
關系代數中傳統的集合運算
關系R與S是相容的: 若關系R和S滿足：R和S具有相同的度；R中的第i個屬性和S中的第i個屬性定義在同一個域上。
並運算： R∪S；差運算：R-S；交運算：R∩S
廣義笛卡爾積：設R為m元關系，S為n元關 系，則R與S的廣義笛卡爾積R×S是一個(m+n) 元關系，其中的每個元組的前m個分量是R中的一個元組，后n個分量是S中的一個元組。若R有k1個元組，S有k2個元組，則R×S有(k1×k2)個元組，即廣義笛卡爾積。
關系代數中專門的集合運算
選擇運算：從關系Students中選取所有的男生，其關系運算表達式為：σSsex='男'(Students)
投影運算：選取學生關系Sudents中的所有Sname(姓名)，Sage(年齡)和Class(班級)，其關系運算表達式為：∏Sname, Sage, Class(Students)
連接運算：θ為算術比較符，從二個關系的廣義笛卡爾 積中選取滿足一定連接條件的元組。
自然連接：兩個關系進行連接比較的屬性列完全相同的等值連接，且結果關系中沒有重復的屬性，R 
S=ΠB(σR.A=S.A(R×S))，B=ARUAS
除法運算：
T＝Π1,2,…,n-m(R)
W＝(T×S)-R (計算T×S中不在R中的元組)
V＝Π1,2,…,n-m(W)
R÷S＝T-V
【查詢選修了'英語' 課程的學生姓名】
【檢索選修了所有課程的學生編號和姓名】
SELECT Sname,Sno
FROM Students WHERE NOT EXISTS
(SELECT * FROM Courses WHERE NOT EXISTS
(SELECT * FROM Reports WHERE
SNO=Students.Sno AND Cno=Course.Cno))
元組關系演算
表達式的一般形式為{ t | α(t)}，它是使α(t)為真的所有元組t構成的集合。其中，t是元組變量，α(t)是元組關系演算公式(簡稱公式)，它由原子公式和運算符組成。
S-學生表、R-成績表、C-課程表
【檢索班級編號為'199902'的全班學生的學號】
{t[1] | S(t)∧t[5]＝'199902'}
【查詢選修了'英語' 課程的學生姓名】
{t[2] | S(t)∧ヨu(R(u)∧u[1]= t[1]∧ヨv(C(v)∧v[1]=u[2]∧v[2]='英語'))}
{t[2] | S(t)∧ヨuヨv (R(u)∧C(v)∧u[1]= t[1]∧v[1]=u[2]∧v[2]='英語')}
【檢索選修了所有課程的學生】
{t | S(t)∧∀v(C(v)∧ヨu(R(u)∧u[2]=v[1]∧u[1]=t[1]))}
域關系演算
【檢索班級編號為'199902'的全班學生的學號】
{t1 | S(t1, t2, t3, t4, t5)∧t5='199902'}}
【查詢選修了'英語'課程的學生名】
{t2 | S(t1, t2, t3, t4, t5)∧ヨu1ヨu2ヨv1ヨv2(R(u1, u2, u3)∧C(v1, v2,v3)∧t1=u1∧u2=v1∧v2='英語')}
【檢索選修了所有課的學生】
{(t1, t2, t3, t4, t5) | S(t1, t2, t3, t4, t5)∧ヨv1ヨu1ヨu2(R(u1, u2, u3)∧C(v1, v2, v3)∧u2=v1∧u1=t1)}
關系運算的安全限制
無限關系：當元組變元t中某一屬性的定義域是無限時，如表示所有不在關系R中的元組的集合{t | ┐R(t)}。
無窮驗證過程：t的取值范圍為無限，如驗證(∀t)(ω(t))為真的過程。
安全表達式：不產生無限關系和無窮驗證過程的表達式。
安全限制：為保證所有表達式都是安全表達式所采取的限制措施。
關系代數運算是安全的：當給定的所有關系是有限時，其運算的有限次復合不會出現無限關系和無窮驗證。
等價：關系代數、安全的元組關系演算和安全的域關系演算的表達能力是等價的，可以相互轉換。
安全限制方法：
定義一個ψ的有限符號集合，記作DOM(ψ)(不必是最小集合)，它由以下兩類符號構成：
ψ中的常量符號；
ψ中涉及的所有關系的所有元組的各個分量值。
這樣，把{t | ┐R(t)}和(∀t)(ω(t))中的t都全部限制在DOM(ψ)中取值，就不會出現無限關系和無窮驗證過程，這時關系演算是安全的。
【關系R如右，求元組演算表達式S={t | ┐R(t)}】
令DOM(ψ)＝∏A(R)∪∏B(R)∪∏C(R)＝{a, b, 1, 3, 7, 8}，則結果關系：
S={ t | ┐R(t)}=DOM(ψ)×DOM(ψ)×DOM(ψ)-R。因此，由於有DOM(ψ)的安全限制，關系S中有216-2=214 個元組，故是有限的。
查詢優化
途徑：
代數優化：對查詢語句進行變換，只改變其基本操作順序提高查詢效率，但不涉及存取路徑。
物理優化：根據系統提供的存取路徑，比如順序或索引等來選取較好查詢方案。
規則優化：根據一些啟發式規則，如先做選擇、投影，再做連接操作等來選擇較好的查詢方案。
代價優化：在規則基礎上，對所提供的查詢方案進行執行代價估算，選擇代價最小的查詢方案。
執行代價：
在集中式數據庫中，查詢的執行代價為：總代價=I/O代價+CPU代價
在多用戶環境下查詢的執行代價為：總代價=I/O代價+CPU代價+內存代價
查詢優化策略（啟發式規則）：
選擇運算應盡早執行
把投影運算和選擇運算同時進行
把投影操作與它前面或后面的一個雙目運算結合起來
在執行連接運算之前，可對需要連接的關系進行適當地預處理，如建索引或排序
把笛卡爾乘積和其后的選擇運算合並成為連接運算
存儲公用子表達式
查詢優化的等價公式：
- 笛卡兒積、自然連接和條件連接都滿足交換律和結合律
- 投影運算的串接：
- 選擇運算的串接：
- 選擇運算與投影運算交換：
- 選擇運算與笛卡爾積交換：
設F中涉及的屬性都是E1的屬性：
如果F=F1∧F2，且F1只涉及E1的屬性，F2只涉及E2的屬性：
如果F= F1∧F2 ，且F1只涉及E1的屬性，F2涉及E1和E2兩者的屬性：
投影運算與笛卡爾積交換：
設E1、E2是兩個關系代數表達式，A1,A2,…,An是E1的屬性，B1,B2,…,Bm是E2的屬性
查詢優化的步驟：
- 把查詢要求轉換成某種內部表示 ;
如關系代數語法樹；
- 把語法樹轉換成某種優化形式;
利用關系代數等價公式的優化算法
- 選擇低層的存取路徑;
查詢優化器根據數據字典獲得當前數據庫
- 狀態的信息
生成多個查詢計划，選擇代價最小的去完成查詢任務。
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