二叉樹圖解以及二叉樹的遞歸原理

　概述　

　　遞歸(recursion) 又稱遞回，在數學與計算機科學中，是指在函數的定義中使用函數自身的方法。 
　　 一般來說，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進段和遞歸返回段。當邊界條件不滿足時，遞歸前進；當邊界條件滿足時，遞歸返回。 

構成遞歸需具備的條件：

1. 子問題須與原始問題為同樣的事，且更為簡單； 

2. 不能無限制地調用本身，須有個出口，化簡為非遞歸狀況處理。 
　　代碼取自美國課本 "Java How to Program "(Deitel & Detel)的練習： 20.25。 以中序遍歷遞歸方法為例，這里顯示的圖解，僅詮釋開始一小部分遞歸前進段與遞歸返回段的交叉過程。通過這一小段的繁瑣解釋，希望讀者可見到二叉樹遞歸遍歷的端倪。  

private void inorderHelper( TreeNode node ){      
     if ( node == null ) //若節點為空          
        return; //無任何操作 
    inorderHelper( node.leftNode ); //有序遍歷下一級左子樹
    System.out.print( node.data + " " ); //輸出節點數據
    inorderHelper( node.rightNode );//有序遍歷下一級右子樹    
}     

 
 

插圖說明： 

 前進段的進程 1 ：鑒於以樹根 節點 "49" 為參數，調用 inorderHelper(...)，開始調用以下一級樹根 節點 "28" 為參數 的inorderHelper(...) 方法。 
 前進段的進程 2 ：鑒於以樹根 節點 "28" 為參數，調用 inorderHelper(...)，開始調用以下一級樹根 節點 "18" 為參數 的 inorderHelper(...) 方法。 
 前進段的進程 3 ：鑒於以樹根 節點 "18" 為參數，調用 inorderHelper(...)，開始調用以下一級樹根 節點 "11" 為參數 的 inorderHelper(...) 方法。 
 節點 "11" 為葉節點，遞歸前進到終點。開始啟動返回操作， 輸出其數值 11。 
 至此，參數為 節點 "11" 的 方法 inorderHelper(...) 執行完畢。返回進程 4 啟動下一個 輸出：18。 
 輸出 18 的代碼行執行完畢，進入前進段進程 5， 執行接下來一行的代碼：調用參數為 節點 "19" 的節點的方法 inorderHelper(...) 
 節點 "19" 為葉節點，遞歸前進到終點。開始啟動返回操作， 輸出其數值 19。 
 至此，參數為 節點 "19" 的 方法 inorderHelper(...) 執行完畢。返回進程 6 啟動下一個 輸出：28。

實現方法：

package test;

import java.util.LinkedList;  
import java.util.List;   
//把一個數組的值存入二叉樹中，然后進行3種方式的遍歷 
public class BinaryTree {   
    private int[] array = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };  
    private static List<Node> nodeList = null;  
    //內部類結點
    private static class Node {  
        Node leftChild;  
        Node rightChild;  
        int data;  
        //構造方法初始化
        Node(int newData) {  
            leftChild = null;  
            rightChild = null;  
            data = newData;  
        }  
    }  
    public void createBinTree() {  
        nodeList = new LinkedList<Node>();  
        // 將一個數組的值依次轉換為Node節點  
        for (int nodeIndex = 0; nodeIndex < array.length; nodeIndex++) {  
            nodeList.add(new Node(array[nodeIndex]));  
        }  
        // 對前lastParentIndex-1個父節點按照父節點與孩子節點的數學關系建立二叉樹  
        for (int parentIndex = 0; parentIndex < array.length / 2 - 1; parentIndex++) {  
            // 左孩子  
            nodeList.get(parentIndex).leftChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 1);  
            // 右孩子  
            nodeList.get(parentIndex).rightChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 2);  
        }  
        // 最后一個父節點:因為最后一個父節點可能沒有右孩子，所以單獨拿出來處理  
        int lastParentIndex = array.length / 2 - 1;  
        // 左孩子  
        nodeList.get(lastParentIndex).leftChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 1);  
        // 右孩子,如果數組的長度為奇數才建立右孩子  
        if (array.length % 2 == 1) {  
            nodeList.get(lastParentIndex).rightChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 2);  
        }  
    }  
    /** 
     * 先序遍歷 
     *  
     * 這三種不同的遍歷結構都是一樣的，只是先后順序不一樣而已 
     *  
     * @param node 
     *            遍歷的節點 
     */  
    public static void preOrderTraverse(Node node) {  
        if (node == null)  
            return;  
        System.out.print(node.data + " ");  
        preOrderTraverse(node.leftChild);  
        preOrderTraverse(node.rightChild);  
    }  
    /** 
     * 中序遍歷 
     *  
     * 這三種不同的遍歷結構都是一樣的，只是先后順序不一樣而已 
     *  
     * @param node 
     *            遍歷的節點 
     */  
    public static void inOrderTraverse(Node node) {  
        if (node == null)  
            return;  
        inOrderTraverse(node.leftChild);  
        System.out.print(node.data + " ");  
        inOrderTraverse(node.rightChild);  
    }  
    /** 
     * 后序遍歷 
     *  
     * 這三種不同的遍歷結構都是一樣的，只是先后順序不一樣而已 
     *  
     * @param node 
     *            遍歷的節點 
     */  
    public static void postOrderTraverse(Node node) {  
        if (node == null)  
            return;  
        postOrderTraverse(node.leftChild);  
        postOrderTraverse(node.rightChild);  
        System.out.print(node.data + " ");  
    }  
    public static void main(String[] args) {  
        BinaryTree binTree = new BinaryTree();  
        binTree.createBinTree();  
        // nodeList中第0個索引處的值即為根節點  
        Node root = nodeList.get(0);  
        System.out.println("先序遍歷：");  
        preOrderTraverse(root);  
        System.out.println();  
        System.out.println("中序遍歷：");  
        inOrderTraverse(root);  
        System.out.println();  
        System.out.println("后序遍歷：");  
        postOrderTraverse(root);  
    }  
}  

輸出結果：

先序遍歷：

2 4 8 9 5 3 6 7
中序遍歷：
4 9 2 5 1 6 3 7
后序遍歷：
9 4 5 2 6 7 3 1