線性移位寄存器(LFSR)

定義

• 一個n級寄存器是一個由n個存儲單元b1,b2,……,bn和一個計算單元f(b1,b2,……,bn)構成的裝置,
  bn+1=f(b1,b2,……,bn)

若f為線性函數
f(b1,b2,……,bn)=t1b1+t1b2+……+tn*bn
稱為線性反饋寄存器，即為LFSR

其中ti=0,1,ti的作用相當於一個開關，用斷開和閉合來表示0和1.

例n=3,f(b1,b2,b3)=b1+b3,則輸入101,
則輸出為：101001110100111010011……
周期T=7=2^3-1

LFSR周期

• 寄存器上始終存儲着n個元素，該n個元素稱為一個狀態，初始時刻的狀態為：
• S1=(b1,b2,……,bn)
  第i時刻的狀態為:
  Si=(bi,bi+1,……,bi+n-1)
  在n級條件下，最多有2^{n個狀態，而在線性運算下，全0不會轉入其他狀態，故LFSR序列的最長周期為:2}n-1

m序列

定義：

• 當n級LFSR序列{bi}的周期T=2^n-1時，稱{bi}為n級m序列。
  注：如何選擇合適的反饋函數LFSR使得序列周期達到最大（m序列），是研究重點。

m序列的產生

• 特征多項式
  • 若LFSR序列{bi}滿足bn+1=t1b1+t2b2+……—+tnbn,令p(x)=1-t1x+t2x^2+……+tnxn (t0=1)稱p(x)為LFSR的特征多項式

Th

• LFSR序列{bi}為n級m序列的充要條件是其特征多項式p(x)是本原多項式。
  注1：本原多項式概念略。
  注2：n次本原多項式的個數：

Matlab中調用本原多項式的命令：

primpoly(n,'all')

常用本原多項式

x^2+x+1
x^3+x+1
x^4+x+1
x^5+x^2+1
x^6+x+1
x^7+x^3+1
x^8+x^4+x^3+x^2+1
x^9+x^4+1
x^10+x^3+1
x^11+x^2+1