第九章 復雜網絡中的信號處理
大型復雜網絡中的每個單獨節點都會產生大量的數據，在復雜網絡上定義的數據被視為一組標量值，稱為由網絡結構支持的圖信號。圖信號可以來自各種場景，如社交網絡中的信息擴散，大腦中的功能活動，道路網絡中的車流等。
圖的采樣和插值，基於圖的變換和濾波器，擴展了經典的信號處理理論，這些工具已經被用於圖上的信號恢復，聚類和社區檢測，圖信號去噪和半監督的圖分類等。
圖信號處理GSP涉及定義在圖上的信號的建模，表示和處理。
圖傅里葉變換不僅可用於圖信號的頻率分析，而且還被證明是多個仍在發展中的概念的核心，通過圖傅里葉變換還定義了諸如卷積，平移，和調制等各種運算。
在圖信號中，圖拉普拉斯算子的特征向量用作圖信號的擴展基。圖信號中的等效變換稱為圖傅里葉變換（GFT）.
圖拉普拉斯算子：圖拉普拉斯矩陣定義為：L=D-W, D為圖的度矩陣，W是圖的權重矩陣。
其性質如下：
1.拉普拉斯矩陣是對稱的
2.拉普拉斯矩陣的特征值和特征向量是實數構成的
3.拉普拉斯矩陣是辦正定的
4.拉普拉斯矩陣總是具有至少一個零特征值
5.它有一套完全的標准正交特征向量
圖譜：圖拉普拉斯矩陣的特征值集合稱為圖譜或者拉普拉斯譜。
圖傅里葉變換GFT：一個圖信號可以表示為某些圖信號的線性組合。成分圖信號是圖拉普拉斯算子的特征向量，這些圖信號被稱為諧波。
在圖信號中，頻率的概念是從圖拉普拉斯矩陣的特征分解中導出的。圖拉普拉斯算子的特征值充當圖頻率，圖拉普拉斯算子的特征向量充當圖傅里葉基。
圖傅里葉基依賴於網絡拓撲並隨網絡結構變化而變化。
圖拉普拉斯算子的特征向量中的頻率概念可以形象地認為是頻率和過零點的關系。
隨着特征值的增加，相應特征向量中的過零點增加，這也表明頻率增加。
低頻的拉普拉斯矩陣的特征向量相對於圖是光滑的。
圖拉普拉斯矩陣的特征值帶有頻率的概念，其中較小的特征值對應於低頻，較大的特征值對應於高頻。
帶寬受限的圖信號：
如果信號的GFT系數在圖頻帶[0,w]外是零，則稱該圖信號的帶寬受限於圖頻率w。圖頻率w被稱為信號的帶寬。
w-帶寬受限信號所構成的空間被稱為Paley-Wiener空間。
圖中的頂點索引不會影響頻域中圖信號的表示；它只會導致信號在頂點域中的表示發生相應的變化。
圖信號的廣義算子
濾波:當在頻域中觀察時，濾波操作是指放大一些頻率或者衰減一些頻率以獲得新信號。
諧域濾波器，空間域中的多項式濾波器
卷積：頂點域中的卷積等價於圖譜域中的元素依次相乘。
平移：
調制：時域中的經典調制等效於頻域中的平移。
應用
GFT捕獲信號變化的能力使其在許多應用中非常有用。
首先，通過對節點的中心性進行頻譜分析，介紹如何使用GFT探索各種復雜網絡模型的結構；第二個例子，我們討論圖傅里葉變換中心性，其利用GFT量化復雜網絡中節點的重要性。
節點中心性的譜分析
度中心性DC，接近度中心性CC，介數中心性BC
基於中心性信號譜的網絡分類
給定作為網絡信號的節點中心性的譜，可以識別網絡的類型。如果網絡上的DC信號譜只有在零頻率處有非零GFT系數，則底層網絡是r-正則網絡。
網絡上的DC或BC信號頻譜中高頻率分量強於低頻分量表明底層網絡是無標度網絡。通過DC信號譜可以准確地完成無標度網絡和正則網絡的識別。
如果DC信號的譜在所有頻率上具有明顯的頻率分量，則底層網絡可能是小世界網絡或者ER網絡。
隨着小世界性越來越強，在DC的譜中高頻分量越來越多。此外，即使對於具有高度隨機性的隨機網絡（ER模型中的邊概率為0.5），其頻譜中的高頻分量也不像無標度網絡那樣強。
圖傅里葉變換中心性GFT-C:是一種用於評估復雜網絡中每個節點重要性的譜方法。
重要性信號：描述參考節點與其余每個節點的關系。采用從單個節點到參考節點的成本的倒數作為其特征。到達參考節點的成本越高，參考節點的重要性越低，反之亦然。
圖傅里葉變換中心性
GFT-C統一測量參考節點對於其余網絡節點的重要性。
重要性信號的GFT稱為重要性譜。
重要性信息編碼在重要性譜的高頻分量中。
如果節點是網絡的核心，那么重要性信號是非平滑的，即重要性信號的變化很大。
窗口圖傅里葉變換WFT：重要的時間-頻率分析工具。以感興趣的位置為中心使用適當的窗口函數可以實現時間上的定位。
在動態圖上尋找信號的新變換是一個具有挑戰性的研究領域。
第十章圖信號處理方法
在這種圖信號處理（GSP）中，圖拉普拉斯算子起了基礎性的作用。
圖上的離散信號處理DSP_G采用線性位移不變（LSI）圖濾波器的理論定義GFT，使得圖傅里葉基是LSI圖濾波器的特征函數。
GSP有兩種主要方法：基於拉普拉斯算子的GSP和DSP_G框架。
（無向）圖拉普拉斯算子的特征分解用於定義GFT，拉普拉斯二次型用於識別低頻和高頻。通過GFT定義了諸如卷積、平移，調制和擴張等基本算子。此外還定義了窗口圖傅里葉變換WGFT用於分析圖信號中的局部頻率分量。WGFT是通過廣義的平移和調制算子來定義的。這種方法的缺點是它僅限於具有正邊權重的無向圖。
第二種方法DSP_G框架根植於代數信號處理理論。在此框架中，定義了圖上位移算子，它起着基礎作用。基於移位不變性，發展了LSI濾波的概念。線性圖濾波器是一種矩陣算子，如果可以按照任何順序進行移位和濾波操作而不改變濾波器輸出，則稱該濾波器為移位不變的。此外，為了定義GFT，使用圖結構矩陣的特征向量作為圖諧波，相應的特征值用作圖頻率。通過圖特征向量的總方差來識別圖的高頻和低頻。在移位算子的幫助下定義總方差。該方法適用於具有實數或者復數邊權重的無向圖和有向圖。
基於拉普拉斯矩陣的圖信號處理
基於拉普拉斯算子的方法僅限於分析位於具有非負實數權重的無向圖上的圖信號。
GFT仍然是核心，提供了圖信號的頻率解釋。
小特征值對應於低頻，反之亦然。
DSP_G框架
根植於ASP(代數信號處理)理論，框架建立在圖移位算子上。
圖表示矩陣的特征值被視為圖頻率，相應的特征向量被視為圖諧波。
為了識別低頻和高頻，定義了稱為總方差的量TV，其量化了圖信號的變化，用於圖頻率排序的圖的TV的定義中使用了移位算子。基於圖表示矩陣的特征向量的TV值，可以識別低頻和高頻。具有低TV值的特征向量對應於低頻，反之亦然。
圖信號處理方法比較
第十一章 復雜網絡的多尺度分析
在前兩章中我們討論了使用圖傅里葉變換進行復雜網絡數據的頻率分析。作為全局變換，GFT具有捕獲圖信號中全局變化的能力；但是無法確定局部的情況。在經典的信號處理中，小波變換已廣泛用於從數據中提取局部和全局信息。小波能同時在時域和頻域定位信號內容，使我們能從不同的尺度提取數據中的信息。同樣，對網絡數據進行像小波似的變換為我們提供了一種分析各種規模網絡數據的方法。
多尺度變換為我們提供了一種在不同尺度分析數據的方法。
圖小波變換旨在定位頂點域和譜域中的圖信號內容。
在頂點域設計中，使用了諸如跳距等空間特征。
另一方面，在譜域設計中，利用諸如圖譜的低頻和高頻特征來定義多個尺度。
在頂域設計中，探索了復雜網絡的空間特征，而在譜域中，使用了一種網絡矩陣的特征分解。
頂點域設計
頂點域設計的圖小波利用圖的空間特征來構建多尺度的小波。空間特征可以是圖中節點的連通性或兩個節點之間的最短距離。CKWT,隨機變換，基於提升的小波和樹小波屬於這類小波設計。
基於提升的小波變換將圖的節點分為兩組：偶節點和奇節點。
譜域設計
在譜域內設計的多尺度變換利用譜的特性（圖矩陣的特征值和特征向量）導出多尺度小波。這類小波設計的例子包括SGWT,雙通道小波濾波器組和擴散小波。
另一方面，雙通道小波濾波器組類似於經典的離散小波變換。擴散小波是正交的，並使用擴散作為多尺度分析的縮放工具。
SGWT更接近於經典連續小波變換，提供了高度冗余的變換，並且可以更精確地控制小波尺度的選擇。
Crovella-Kolaczyk小波變換
它僅利用單個網絡度量、最短路徑距離或幾何距離來計算網絡上的小波。發展的背后動機是形成網絡中流量的高度概括的視圖。CKWT可用於深入了解鏈路故障的全局網絡流量響應以及定位網絡中故障事件的范圍。
CK小波的每列是一個以相應的頂點為中心的j階的小波
小波變換
上面定義的小波可用於表示變換域中的圖信號。
可以利用圖信號在不同尺度的系數來提取有用的信息，例如定位到特定節點的圖信號的擴展。
小波的性質
CKWT方法中小波的性質：
①CK小波具有零均值
②以節點i為中心的j階ck小波在等距離中心等距的節點處具有相等的值；
③以節點i為中心的j階CK小波在距離中心j跳之外的節點處的值為零。
優點和缺點：CKWT是最早在圖上提供多尺度分析的方法之一。但是僅限於無向且未加權的圖。此外，CKWT不可逆，因此不能用於壓縮和去噪等應用。
隨機變換
用於傳感器網絡數據的多分辨率表示的隨機變換。
雙通道圖濾波器由下采樣和上采樣器組成。
擴散小波：
圖上的擴散小波是基於圖的特定的擴散矩陣的冪的壓縮表示。擴散矩陣可以是隨機游走矩陣或者拉普拉斯矩陣。
優點和缺點：
擴散小波的最大的優勢是在生成不同尺度的小波的同時也生成圖的壓縮的版本。此外，基函數是正交的，因此可以允許從變化系數重建信號。
雙通道的濾波器組只能保證二分圖是完美重建。