前言
首先說一下題意。就是每次給出 \(x\) 和 \(y\) 兩個數，求 \(x\) 到 \(y\) 這個區間的最大子段和
正文
分析
首先我們看這個數據范圍，我們顯然是要用線段樹來做這道題。
我們考慮如何pushup。
pushup的操作
區間最大字段和
我們考慮一個區間的最大子段
我們分 \(3\) 種情況討論
1. 有可能是左邊部分的最大子段和
答案就是左邊部分的最大子段和
2. 也有可能右邊部分的最大子段和
答案就是右邊部分的最大子段和
3. 最大最大和有可能跨越了中間
答案就是左邊部分右端點往左的最大子段和 \(+\) 左端點往右的最大子段和
發現
所以，我們需要對於所有節點，還要維護它們以左端點往右的最大子段和、右端點往左的最大子段和。
我們再考慮如何維護一個區間以左端點往右的最大子段和、右端點往左的最大子段和。
以左端點往右的最大子段和
我們先考慮以左端點往右的最大子段和
我們分 \(2\) 種情況討論
1. 不跨越中間
答案就是左部分的以左端點往右的最大子段和
2. 跨越中間
答案就是左部分的和 \(+\) 右部分以左端點往右的最大子段和
以右端點往左的最大子段和
我們先考慮以右端點往左的最大子段和
我們分 \(2\) 種情況討論
1. 不跨越中間
答案就是右部分的以左端點往右的最大子段和
2. 跨越中間
答案就是右部分的和 \(+\) 左部分以右端點往左的最大子段和
發現
我們發現我們還需要維護區間和，這個問題很簡單，不在講解了。
所以我們現在總共要維護 \(4\) 個東西
分別是
\(lans\)、\(rans\)、\(ans\)、\(sum\)
邊界情況——即整個區間是一個點
我們可以發現
\(lans\)、\(rans\)、\(ans\)、\(sum\) 都為這個點的值
代碼
Tree pushup(Tree L,Tree R){
Tree z;
z.sum=L.sum+R.sum;//和
z.l=max(L.l,L.sum+R.l);//2種情況
z.r=max(R.r,R.sum+L.r);//2種情況
z.ans=max(max(L.ans,R.ans),L.r+R.l);//3種情況
return z;
}
這里我寫了一個帶返回值的函數，就是為了下面方便啦。
查詢
上文已經講解了最大子段和的 \(3\) 中情況，已經知道最大子段和跟 \(4\) 個東西有關。
所以我們要定義一個返回值為 \(Tree\) 的函數。
那么現在，關鍵就在於合並區間，那么現在之前的pushup就可以被調用了。
Tree query(int x,int y,int num,int l,int r){
if(l<=x&&r<=y)return t[num];
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid)return query(x,y,ls,l,mid);//右區間和查詢區間沒有交，答案當然在左區間
if(mid<x)return query(x,y,rs,mid+1,r);//左區間和查詢區間沒有交，答案當然在右區間
return pushup(query(x,mid,ls,l,mid),query(mid+1,y,rs,mid+1,r));//是不是很簡潔？
}
代碼
我們已經把這道題的重點都搞清楚了，接下來就可以放代碼了，至於單點修改不會的請自行去學習
#include <bits/stdc++.h>
#define ls num<<1
#define rs num<<1|1
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
FF*=RR;
}
template<typename T>void write(T x){
if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+48);
}
template<typename T>void writen(T x){
write(x);
puts("");
}
const int MAXN=5e4+10;
struct Tree{
int sum,l,r,ans;//維護的4個量
}t[MAXN*4];
int a[MAXN],f,x,y;
Tree pushup(Tree L,Tree R){
Tree z;
z.sum=L.sum+R.sum;//和
z.l=max(L.l,L.sum+R.l);//2種情況
z.r=max(R.r,R.sum+L.r);//2種情況
z.ans=max(max(L.ans,R.ans),L.r+R.l);//3種情況
return z;
}
void build(int l,int r,int num){//建樹
if(l==r){
t[num].sum=a[l];
t[num].l=a[l];
t[num].r=a[l];
t[num].ans=a[l];//邊界初始化
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,ls);
build(mid+1,r,rs);
t[num]=pushup(t[ls],t[rs]);//pushup
}
void change(int l,int r,int num){//單點修改
if(l==r){
t[num].sum=y;
t[num].l=y;
t[num].r=y;
t[num].ans=y;//邊界初始化
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)change(l,mid,ls);
else change(mid+1,r,rs);
t[num]=pushup(t[ls],t[rs]);
}
Tree query(int x,int y,int num,int l,int r){
if(l<=x&&r<=y)return t[num];
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid)return query(x,y,ls,l,mid);//右區間和查詢區間沒有交，答案當然在左區間
if(mid<x)return query(x,y,rs,mid+1,r);//左區間和查詢區間沒有交，答案當然在右區間
return pushup(query(x,mid,ls,l,mid),query(mid+1,y,rs,mid+1,r));//是不是很簡潔？
}
int main(){
int n,T;
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
build(1,n,1);
read(T);
while(T--){
read(f);read(x);read(y);
if(f==0)change(1,n,1);
else writen(query(x,y,1,1,n).ans);
}
return 0;
}