Java 算法 - 遞歸算法

目錄

• Java 算法 - 遞歸算法
  • 1. 如何編寫遞歸
    • 1.1 遞歸的條件
    • 1.2 如何編寫遞歸代碼
  • 2. 總結
    • 2.1 注意事項
    • 2.2 非遞歸改寫
    • 2.3 遞歸調試

數據結構與算法之美目錄(https://www.cnblogs.com/binarylei/p/10115867.html)

遞歸本質是借助棧的數據結構，加上一個簡單的邏輯算法實現。

遞歸是一種應用非常廣泛的算法，很多數據結構和算法都要用到遞歸，比如 DFS 深度優先搜索、前中后序二叉樹遍歷等等。所以，搞懂遞歸非常重要，否則，后面復雜一些的數據結構和算法學起來就會比較吃力。

我們以斐波那契數列分析一下遞歸算法。

# 斐波那契數列：后一個數等於前兩個數之和
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1. 如何編寫遞歸

1.1 遞歸的條件

究竟什么樣的問題可以用遞歸來解決呢？只要同時滿足以下三個條件，就可以用遞歸來解決：

1. 一個問題的解可以分解為幾個子問題的解，這些分解后的子問題，除了數據規模不同，求解思路完全一樣。

   何為子問題？子問題就是數據規模更小的問題。在斐波那契數列中，就是求出前兩個數之和。

2. 根據分解后的子問題，寫出遞歸公式。

   在斐波那契數列中，就是 f(n) = f(n -1) + f(n -2)。

3. 存在遞歸終止條件。

   把問題分解為子問題，把子問題再分解為子子問題，一層一層分解下去，不能存在無限循環，這就需要有終止條件。在斐波那契數列中，存在多個終止條件，也就是 f(1) = 1 和 f(2) = 1，這就是遞歸的終止條件。

1.2 如何編寫遞歸代碼

寫遞歸代碼的關鍵就是找到如何將大問題分解為小問題的規律，並且基於此寫出遞推公式，然后再推敲終止條件，最后將遞推公式和終止條件翻譯成代碼。只要遇到遞歸，我們就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的調用關系，不要試圖用人腦去分解遞歸的每個步驟。

public int fibonacci(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

2. 總結

2.1 注意事項

（1）警惕堆棧溢出

編寫遞歸代碼時，如果遞歸層次太深，會出現堆棧溢出。而堆棧溢出會造成系統性崩潰，后果會非常嚴重。

為什么遞歸代碼容易造成堆棧溢出呢？函數調用會使用棧來保存臨時變量。每調用一個函數，都會將臨時變量封裝為棧幀壓入內存棧，等函數執行完成返回時，才出棧。系統棧或者虛擬機棧空間一般都不大。如果遞歸求解的數據規模很大，調用層次很深，一直壓入棧，就會有堆棧溢出的風險。

我們又該如何預防堆棧溢出呢？我們可以通過限制遞歸調用的最大深度來解決堆棧溢出問題。但這種做法並不能完全解決問題，因為最大允許的遞歸深度跟當前線程剩余的棧空間大小有關，事先無法計算。如果實時計算，代碼過於復雜，就會影響代碼的可讀性。

• 如果限制深度比較小，可以限制遞歸深度。比如 10、50，就可以用這種方法，否則這種方法並不是很實用。
• 如果限制深度比較大，就只能自己模擬一個棧，用非遞歸代碼實現

（2）警惕重復計算

如上的斐波那契數列，計算 f(5) 時需要計算 f(4) 和 f(3)，計算 f(4) 又要計算 f(4) 和 f(2)，這樣會造成大量的重復計算，效率非常低。我們可以將中間計算結果緩存起來，這樣可以避免大量重復計算。

// 遞歸，動態規划。將計算的中間結果緩存起來。
public int fibonacci(int n) {
    return fibonacci(n, new HashMap<>());
}
private int fibonacci(int n, Map<Integer, Integer> resolved) {
    if (resolved.containsKey(n)) {
        return resolved.get(n);
    }
    
    int value;
    if (n == 1 || n == 2) {
        value = 1;
    } else {
        value = fibonacci(n - 1, resolved) + fibonacci(n - 2, resolved);
    }
    resolved.put(n, value);
    return value;
}

（3）警惕死循環

如果遞歸的數據出現 A-B-C-D-A，則會讓遞歸陷入死循環中。

2.2 非遞歸改寫

遞歸有利有弊，利是遞歸代碼的表達力很強，寫起來非常簡潔；而弊就是空間復雜度高、有堆棧溢出的風險、存在重復計算、過多的函數調用會耗時較多等問題。所以，在開發過程中，我們要根據實際情況來選擇是否需要用遞歸的方式來實現。

public int fibonacci(int n) {
    int num1 = 1;
    int num2 = 1;
    if (n == 1 || n == 2) return 1;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = num1;
        num1 = num2;
        num2 = tmp + num2;
    }
    return num2;
}

那是不是所有的遞歸代碼都可以改為這種迭代循環的非遞歸寫法呢？

籠統地講，是的。因為遞歸本身就是借助棧來實現的，只不過我們使用的棧是系統或者虛擬機本身提供的，我們沒有感知罷了。如果我們自己在內存堆上實現棧，手動模擬入棧、出棧過程，這樣任何遞歸代碼都可以改寫成看上去不是遞歸代碼的樣子。但是這種思路實際上是將遞歸改為了 ”手動“ 遞歸，本質並沒有變，而且也並沒有解決前面講到的某些問題，徒增了實現的復雜度。

2.3 遞歸調試

我們平時調試代碼喜歡使用 IDE 的單步跟蹤功能，像規模比較大、遞歸層次很深的遞歸代碼，幾乎無法使用這種調試方式。對於遞歸代碼，你有什么好的調試方法呢？

1. 打印日志發現，遞歸值。
2. 結合條件斷點進行調試。

調試遞歸就像寫遞歸一樣，不要被每一步的細節所困，重點在於確認遞推關系與結束條件是否正確，用條件斷點着重調試最初兩步與最終兩步即可。

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1. 《如何將遞歸調用轉化為非遞歸代碼》：https://mp.weixin.qq.com/s/Ki3WN2AJ5HhxxmaQ0lVh3Q

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