前言
這個問題在高中生物中，並不會研究的那么深刻。
所以正式做題時還是應該按照老師的教導，避開這個“雷區”。
1.問題發現
在高中生物-遺傳與進化-基因的本質學習中，有一個十分經典的問題。
即：給定鹼基對數n，不限定每種鹼基(A,C,G,T)的個數，求出最多的DNA種數。
在所有的教材，輔導書，以及老師的授課過程中，對於這個問題的答案，一般都是\(4^{n}\)或者$ \frac {4^n} {2}$。
對於\(4^n\)的思路，即每個位置有\(4\)種鹼基對可能，一共有\(n\)組，根據乘法原理，故為\(4^{n}\)。
對於\(\frac {4^n} {2}\)的思路，即在上一種思路的基礎上，考慮到有重復的情況，便除了個2。
但是，@thorn,@opethrax以及本人的對於這些答案深感懷疑，於是我們便手算了當鹼基對數為\(2\)時的所有情況。
利用計算機程序進行打表，以及查詢有關\(DNA\)的資料后，最終我們確定當n=2時，結果理應為10。
這個答案都不能用上面的公式解答，於是我們繼續思考探索。
2.深入探究
通過@opethrax同學辛苦的打表，觀察，他發現存在一些情況被忽略。
原先我們認為，一個\(DNA\)分子擁有\(3'\)與\(5'\)段，\(3\)代表三號碳，\(5\)代表五號碳。
如下圖，從兩條鏈的\(3'\)端分別掃描，一種序列最多被統計到\(2\)次。
一個是AGCTA，另一種是TAGCT。
但是，存在一種\(DNA\)分子，從其兩條鏈的\(3'\)端分別掃描，結果相同。
如下圖：
都為TCGATCGA。
所以這種情況下，具有這種性質的\(DNA\)會被少統計一次。
且我們不難發現，滿足這種性質當且僅當\(DNA\)鏈的長度為偶數（如圖一，若為奇數，會出現不對稱的情況，即不滿足這種性質）。
那么我們分類討論，之前那個\(\frac {4^n} {2}\)的公式，可以在n為奇數時使用。
對於n為偶數的情況，我們要在原公式的基礎上，加上少統計的個數。
現在的問題，即是尋找擁有這種特殊性質的鏈的個數。
不難發現，一條鏈的\(3'\)端的\(1\)號鹼基到該鏈的第\(\frac n 2\)號鹼基，如果和另一條鏈的\(3'\)端的\(1\)號鹼基到該鏈的第\(\frac n 2\)號鹼基相同，剩下的部分通過鹼基互補配對原則，可以保證相同。
下圖黑的部分是我們自己確定的一條排列，紅色部分是根據鹼基互補配對原則形成的。
我們可以把這個理解為一種中心對稱。
所以我們只需要構造出一條鏈中一半的排列，然后按照中心對稱放到另一條鏈的\(3'\)端，剩下那條按照鹼基互補配對原則填充即可滿足這種性質。
所以我們不難得出，這種情況下，會有\(4^{\frac {n}{2}}\)條鏈會被少統計一次。
至此，我們可以得出公式：
這個式子經過打表以及oeis.org的確認，結果正確。
3.聲明與感謝
其實\(DNA\)的結構遠比人類腦海中想象的要復雜的多，這里我們只是討論了理論下的情況。
感謝您的閱讀。若您存在任何疑問，或覺得我們有些地方存在紕漏，歡迎您聯系我們，我們十分樂意與您探討。
再次感謝兩位同學@thorn,@opethrax深夜的探討與陪伴，若沒有他們的幫助，我們很難單獨進行下去。
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4.深夜隨想
造物主強大的力量是人們無法想象到的。人類很難走到沒有任何疑惑的那一天。
每一個個體腦中冒出的新奇想法，或提出的一個問題，都有可能成為築起人類從無知到有知的橋梁下的一粒石子。
對科學的探索，不是淺嘗輒止，而是無窮無盡。
獻上一首不錯的音樂：
“生於此處卻不知此處
日光傾城，萬物生長，又是為何
若沒有大地的擁抱，我們早已消失於茫茫宇宙之中
若沒有原子之穩定，我們亦不復存在
無人問天地變換，斗轉星移，是為何故
宇宙又是源於何處
它是否無始無終
時間若願意倒流，我們的認知是否還會有局限
世間最渺小之物又是什么
滾滾長江，卻只留有過去，不知未來
浩淼宇宙，為何我們在此相遇”
——《Moonlight》