Dirichlet 前綴和的幾種版本

【模板】Dirichlet 前綴和

求

\[B[i] = \sum_{d|i} A[d] \]

$ n \le 2\times 10^{7} $

看代碼：

for( int i = 1 ; i <= en && pri[i] <= n ; ++ i ) {
        for (int j = 1; j * pri[i] <= n; ++j) {
            B[j * pri[i]] += B[j];
        }
    }

為啥這么做它是對的呢？發現每個數字會被它除以所有質因子轉移到，並且是按照質因子從小到大來的。

所以這個代碼相當於，對所有質因子遞歸求，然后對對所有質因子搞前綴和。

形式和 埃篩 一樣，復雜度也是 $ O(n\log\log n) $

然后考慮這個

\[B[i] = \sum_{i|d} A[d] \]

看代碼：

for( int i = 1 ; i <= en && pri[i] <= n ; ++ i ) {
        for (int j = n / pri[i]; j; --j) {
            B[j] += B[j * pri[i]];
        }
    }

首先，我們發現最主要的區別在於，我們應當從 一個數字本身 轉移到 這個數字除以所有質因子。因為是從大到小轉移的，所以也需要逆序枚舉 $ j $ 。

最后考慮這個：

\[A[i] = \sum_{d|i} B[d] \]

也是已知 $ A $ 求 $ B $

這種情況其實就是第一種情況反過來，我們也可以直接把循環順序和轉移方法給反過來

for( int i = en ; i ; -- i ) {
        for (int j = n / pri[i]; j ; -- j) {
            B[j * pri[i]] -= B[j];
        }
    }

第二種情況也可以反過來，就不贅述了。

例題：CF585E