題面
題解
不妨設向下墜落的方向為正方向，那么世界i所處的位置為\(it-A[i](i{\geq}0)\)。那么我們可以畫出各世界的S-t圖像。
先考慮如果\(A[i]>A[Q[i]]\)，即i需要追趕的情況。
如果射線i與射線j在某處相交，且j>i，那么我們稱這個點是i的“向上拐點”，是j的“向下拐點”。
那么有性質1：從i出發，遇到向上拐點就拐，那么一定是一種最優方案。（如果遇到三線共點，走該處斜率最大的一條射線）
這是因為，假設存在一種更優方案，那么它一定與我們的原方案在某點處相交，從而這與我們最優方案的構造不符。假設不成立。
- 如圖，綠線表示假設存在的更優方案，那么在A點我們遇到了向上拐點卻沒有拐。
性質2：設up_fa[i]表示射線i出發后碰到的第一個向上拐點對應的直線（如果三線共點，那么選擇該點處斜率最大的線）
- 如圖，up_fa[i]=j
那么，性質1中描述的方案，就是不斷從當前射線i轉入up_fa[i]而成的。
這個性質也是比較顯然的。假設性質1中的方案是圖中的黑色箭頭i->j->k，假設up_fa[j]不是k而是l,那么由於有l>j>i以及l和j均通過i下方的A點，所以l與i的交點B一定在i與j的交點之前。所以從i出發應在B點轉入l，而不是繼續走黑色路線，這與我們在性質1中規定的規則不符。
更一般地、如果按照性質1規定的方案走出的路線是\(i_1,i_2,…,i_t\)，那么一旦任何一個\(i_s(2{\leq}s<t)\)使得up_fa[\(i_s\)]\({\neq}\)\(i_{s+1}\)，那么\(i_{s-1}\)就一定在遇到\(i_s\)之前遇到up_fa[\(i_s\)]，從而與我們在性質1中規定的規則不符。
有了性質1、2，我們就可以通過對所有i計算up_fa[i]，然后通過樹上倍增求解。下面講一下計算up_fa[i]的方法。
up_fa[i]，是所有\(A[j]>A[i]\)且\(j>i\)的j中，使得射線\(i,j\)交點橫坐標最小的那個。射線\(i,j\)交點的橫坐標t是：
所以，如果我們把所有射線i，按坐標\((i,A[i])\)對應另一個平面中的一個點，所求的就是點i右上方、與i連線斜率最小的點j。（若點i右上方沒有點，說明原來的射線i與其他射線不相交，可以置up_fa[i]=0）
性質3：如果點x在點y的左上方，那么y下方的所有點的up_fa均不為x。
性質4：如果x,y,z縱坐標依次減小，且\(k(y,z)>k(x,y)>0\)，（如下圖）那么z下方的所有點的up_fa均不為y。
這兩條性質顯然。由此，我們可以把所有點按縱坐標從大到小排序，然后維護一個下凸包，輪到點i的時候，按性質3、4依次從下到上刪去凸包上的點，直到不能刪，此時凸包最下方的點就是up_fa[i]。然后把i加進凸包。
至此，\(A[i]>A[Q[i]]\)的情況考慮完畢，時間復雜度是計算up_fa[]的O(n)加上樹上倍增的O(nlogn)。
對於\(A[i]<A[Q[i]]\)，做法類似，只需要先計算出第一個向下拐點對應的射線down_fa[]，過程中利用凸包維護，再利用樹上倍增，同樣可以求解。
總時間復雜度\(O(nlogn)\)。
代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200000
#define rg register
#define ll long long
#define eps 1e-8
inline ll read(){
ll s = 0,ww = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')ww = -1;ch = getchar();}
while('0' <= ch && ch <= '9'){s = 10 * s + ch - '0';ch = getchar();}
return s * ww;
}
inline void write(ll x){
if(x < 0)x = -x,putchar('-');
if(x > 9)write(x / 10);
putchar('0' + x % 10);
}
ll p[N+5],A[N+5],Q[N+5],up_fa[N+5][20],down_fa[N+5][20];
inline double k(ll j,ll i){
return 1.0 *(A[j] - A[i]) / (j - i);
}
inline bool cmp1(ll x,ll y){
return A[x] < A[y];
}
ll q[N+5];
ll n;
inline void calcfa(){
ll L,R;
q[L=R=1] = 0;
for(rg ll i = n;i >= 1;i--){
ll u = p[i];
while((L<R && k(q[R],u)<0) || (L+1<R && k(q[R],u)>k(q[R-1],q[R])))R--;
q[++R] = u;
up_fa[u][0] = q[R-1];
}
for(rg ll j = 1;j <= 18;j++)
for(rg ll i = 1;i <= n;i++)up_fa[i][j] = up_fa[up_fa[i][j-1]][j-1];
q[L=R=1] = 0;
for(rg ll i = 1;i <= n;i++){
ll u = p[i];
while((L<R && k(q[R],u)<0) || (L+1<R && k(q[R],u)>k(q[R-1],q[R])))R--;
q[++R] = u;
down_fa[u][0] = q[R-1];
}
for(rg ll j = 1;j <= 18;j++)
for(rg ll i = 1;i <= n;i++)down_fa[i][j] = down_fa[down_fa[i][j-1]][j-1];
}
inline bool up_check(ll u,ll l){ //當前射線u遇到的第一個向下拐點是否在目標線l以上
if(down_fa[u][0] == 0)return 0;
double x = k(u,down_fa[u][0]),y = (double)u * x - (double)A[u];
return (double)l * x - y - (double)A[l] < -eps;
}
inline bool down_check(ll u,ll l){ //當前射線u遇到的第一個向上拐點是否在目標線l以下
if(up_fa[u][0] == 0)return 0;
double x = k(u,up_fa[u][0]),y = (double)u * x - (double)A[u];
return (double)l * x - y - (double)A[l] > eps;
}
inline ll gcd(ll a,ll b){
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
inline void print(ll u,ll v){
ll x = A[u] - A[v],y = u - v;
ll d = gcd(x,y);
x /= d,y /= d;
write(x),putchar('/'),write(y),putchar('\n');
}
int main(){
n = read();
for(rg ll i = 1;i <= n;i++)A[i] = read();
for(rg ll i = 1;i <= n;i++)Q[i] = read();
for(rg ll i = 1;i <= n;i++)p[i] = i;
sort(p+1,p+n+1,cmp1);
calcfa();
for(rg ll i = 1;i <= n;i++){
if(A[Q[i]] < A[i]){
ll u = i;
if(down_check(i,Q[i])){ //需要傳送多於1次
for(rg ll j = 18;j >= 0;j--)if(down_check(up_fa[u][j],Q[i]))u = up_fa[u][j];
u = up_fa[u][0];
if(u < Q[i])puts("-1");
else print(u,Q[i]);
}
else if(i < Q[i])puts("-1");
else print(i,Q[i]);
}
else{
ll u = i;
if(up_check(i,Q[i])){ //需要傳送多於1次
for(rg ll j = 18;j >= 0;j--)if(up_check(down_fa[u][j],Q[i]))u = down_fa[u][j];
u = down_fa[u][0];
if(u > Q[i])puts("-1");
else print(u,Q[i]);
}
else if(i > Q[i])puts("-1");
else print(i,Q[i]);
}
}
return 0;
}