尺取法
引子
說實話，這部分其實我也才學了3天，剛開始接觸時，是做了一個小小粉絲嘟嘟熊_hdu6119，聽T老師講的時候，感覺跟之前做的斜率優化，就是我之前寫的HNOI的玩具裝箱 ，差不多，都是用了一個單調隊列，來優化，其實重要的可以應用的原因是wyq所說的單調
我們來看看一個明顯的單調隊列的例子
Eg. 有這么一行數\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\),我們要求所有任意連續k個數中的最小值。
我們平常的方法是什么，枚舉一個起點\(head\)循環到\(head+k-1\),求出其中的最小值 ,再把所有的最小值比較，即可得出答案，時間復雜度是\(O(kn)\)
用了單調法，\(O(kn)\)變\(O(n)\)
主要分為以下幾步
- 初始化 \(head=1,tail=0,a_{0}=0x3f3f3f3f\),循環自變量為\(c\)
- 檢查\(que_{head}\) 是否\(>=tail-k+1\) 若是，繼續，否則，\(head++\),直到滿足條件
- 當\(a_{c}\)滿足小於等於\(a_{que_{tail}}\)且\(head<=tail\),,\(tail--\)
- \(c\)入隊
- 當\(c>=k\)時,\(a_{que_{head}}\)即為所求
這是單調隊列的簡單應用，我們來進入正題
正文
用我的第一道題做第一道例題吧
我們先不管算法，來談談如何合並一個區間
我的初步想法是這樣的，先把一個個區間按照左端點排序，左端點相同，按右端點從小至大，然后掃一遍就行了‘
然后尺取，做一個\(tail\)和\(head\),然后，你既然想要最大的連續的，那么頭指針單調時，tail必定單調，所以我們能使用尺取法
接下來是常規的尺取，算區間的間隔，看小不小k
bool cmp(Node a,Node b){
if(a.l==b.l) return a.r>b.r;
return a.l<b.l;
}
void init(){
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);
cnt=1,b[1].l=a[1].l,b[1].r=a[1].r;//預處理區間
for(int i=2;i<=n;i++){
if(a[i].l<=b[cnt].r+1&&a[i].r>b[cnt].r) b[cnt].r=a[i].r;
if(a[i].l>b[cnt].r){
cnt++;
b[cnt].l=a[i].l,b[cnt].r=a[i].r;
}
}
memset(que,0,sizeof que);
head=1;
ans=b[1].r-b[1].l+1+k;
kong=0;
return ;
}
int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
init();
for(int i=2;i<=cnt;i++){//尺取法
while(head<=i&&kong+b[i].l-b[i].r-1>k){
kong=kong-(b[head+1].l-1-b[head].r);
head++;
}
kong=kong+(b[i].l-b[i-1].r-1);
ans=max(ans,k-kong+b[i].r-b[head].l+1);
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Eg.2
數據范圍，能給你啟示
我們如果平常的，枚舉一個矩陣左上，右下的話，時\(O(n^6)\),會超時，考慮到我們的座位，再上界，下界，左界一定時隨着右界的增大，Seats 是不減函數，在做前綴和，就能把時間復雜度降為\(O(n^3)\)可以在規定時間內過掉
所以能用尺取法
具體思路
枚舉上界和下界，對其中用尺取法，注意都是閉區間。。。
示例如下
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int Maxn=303;
int r,c,k,s[Maxn][Maxn],ans;
char ch;
using namespace std;
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
return x;
}
int count(int y1,int y2,int x1,int x2){
return s[y2][x2]-s[y2][x1-1]-s[y1-1][x2]+s[y1-1][x1-1];
}
int main(){
//freopen("hdu1937.in","r",stdin);
while(1){
scanf("%d%d%d%c",&r,&c,&k,&ch);
if(r==0&&c==0&&k==0)break;
memset(s,0,sizeof s);
for(int i=1;i<=r;i++){//制作前綴和
for(int j=1;j<=c;j++){
ch=getchar();
if(ch=='X') s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
else s[i][j]=1+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
}
ch=getchar();
}
ans=0x7fffffff;
for(int sh=1;sh<=r;sh++){
for(int x=sh;x<=r;x++){//枚舉上界下界
int tail=0;//枚舉head
for(int head=1;head<=c;head++){
while(tail<c&&count(sh,x,head,tail)<k){
tail++;//位數如果小tail++
}
if(tail==c&&count(sh,x,head,tail)<k) break;//這一內不行
ans=min(ans,(tail-head+1)*(x-sh+1));//統計答案
}
}
}
printf("%d\n",ans);
}
}
Eg.3
這個題，他告訴你我們的分數會加絕對值，不減
而且 他是一個軸對稱的算法，並且不能有交集
我們可以用尺取法來解決，枚舉每個對稱軸，並不是有奇偶性之分
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int Maxn=100000;
int T,m;
char c[Maxn];
int main(){
//freopen("hdu6103.in","r",stdin);
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&m);//讀入
scanf("%s",c+1);
int ans=-1,len=strlen(c+1);
for(int i=2;i<len;i++){//從第二個到len-1
int tail=0,now=0,min1=min(i-1,len-i);//算到兩邊長
for(int head=1;head<=min1;head++){
while(tail<min1&&now+abs(c[i-tail-1]-c[i+tail+1])<=m){
now+=abs(c[i-tail-1]-c[i+tail+1]);
tail++;
}
ans=max(ans,tail-head+1);
now-=abs(c[i-head]-c[i+head]);
}
}
for(int i=1;i<len;i++){
int tail=0,now=0,min1=min(i,len-i);
for(int head=1;head<=min1;head++){
while(tail<min1&&now+abs(c[i-tail]-c[i+tail+1])<=m){
now=now+abs(c[i-tail]-c[i+tail+1]);
tail++;
}
ans=max(ans,tail-head+1);
now-=abs(c[i-head+1]-c[i+head]);
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
hdu4123 BOb'race
我們看看，這道題就是求一個點在樹圖上所能到達的最遠距離，我們知道，這個距離就是到任意一條直徑兩端點的較大距離
這樣我們就得出了每個點的答案，然后用兩個單調隊列，一個存最大值的編號，一個存最小值的編號，O(n)輸出答案。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
const int Maxn=50005;
struct Node{
int lac,to,wg;
}edge[Maxn*2];
int n,m,cnt,h[Maxn],x,y,z,dis[Maxn],ans[Maxn],k;
deque<int> qmax;
deque<int> qmin;
bool vis[Maxn];
void insert(int x,int y,int z);
void find_dtr();
void build();
int dfs(int u);
void print();
void insert(int x,int y,int z){
edge[cnt].lac=h[x];
edge[cnt].to=y;
edge[cnt].wg=z;
h[x]=cnt++;
}
void build(){
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
insert(x,y,z);
insert(y,x,z);
}
}
//我們通過深搜來記錄路徑
int dfs(int u) {
vis[u]=1;
int to=u;
for(int i=h[u];i!=-1;i=edge[i].lac) {
if(vis[edge[i].to]) continue;//雖然不可能。。。
dis[edge[i].to]=edge[i].wg+dis[u];//我們得到to的路徑長
int ret=dfs(edge[i].to);//我們就去下一個點，得到最大距離
if(dis[to]<dis[ret]) to=ret;//修改一波
}
return to;//如果沒有葉子節點，返回其本身
}
//第一次寫的樹的直徑
//我們利用樹的直徑的性質。。。
//對於一條直徑
//一個點到別的點的最長路徑肯定是在兩端點的。。
//但是我們不知道到那個端點，於是做3次深搜。。
//前兩此的直徑，后兩次的路徑
void find_dtr() {
memset(dis,0,sizeof dis);
memset(vis,0,sizeof vis);
int s=dfs(1);//返回距離u的最遠節點
memset(dis,0,sizeof dis);
memset(vis,0,sizeof vis);
int t=dfs(s);//此時，已經有了一部分答案我們選擇memcpy
memcpy(ans,dis,sizeof ans);
memset(dis,0,sizeof dis);
memset(vis,0,sizeof vis);
s=dfs(t);//在重新搜回去
//事實上，再有多個路徑的時候，前一個s可能不是這s，但是這s和t是直徑端點。
for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=max(ans[i],dis[i]);
}
void print(){
while(m--){
//我們統計m次答案
//我們做兩個單調隊列，一個記錄最大值的編號，一個記錄最小的編號
scanf("%d",&k);
int head=1,len=-1;
for(int i=1;i<=n;i++){//枚舉嵬節點
while(!qmin.empty()&&ans[i]<=ans[qmin.back()]) qmin.pop_back();//卻在前面越小
while(!qmax.empty()&&ans[i]>=ans[qmax.back()]) qmax.pop_back();//越在前面越大
qmin.push_back(i);
qmax.push_back(i);
while(ans[qmax.front()]-ans[qmin.front()]>k){
head++;
if(qmax.front()<head) qmax.pop_front();
if(qmin.front()<head) qmin.pop_front();
}
len=max(len,i-head+1);
}
while(!qmin.empty()) qmin.pop_front();
while(!qmax.empty()) qmax.pop_front();
printf("%d\n",len);
}
}
int main() {
freopen("Bob.in","r",stdin);
while(1){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n==0&&m==0) break;//程序結束
memset(h,-1,sizeof h);cnt=0;//初始化
build();//建樹
find_dtr();//找直徑
print();//單調隊列輸出答案
}
return 0;
}
其實，有些改變的題還有很多 像CF那道刪數，就要做個鄰接表
嵬
哼唧