寫在前面
在計算機視覺中，濾波（filtering）是指
Image filtering: compute function of local neighborhood at each position.
—— from CAP5415–Fall 2014-Lecture 2 (08/21/2014)–Filtering
In the broadest sense of the term "filtering", the value of the filtered image at a given location is a function of the values of the input image in a small neighborhood of the same location.
濾波本質上是一種特殊的函數，其作用在圖像的每個位置，通過定義的計算方式得到輸出，輸出的值用於替換圖像當前位置（濾波器中心）的值。
令濾波函數為\(g(x;\ w)\) ，其中\(x\)為圖像的局部鄰域，\(w\)為濾波器的權重，濾波器可以分成如下3類，
- 線性濾波器（Linear filter）：線性濾波的輸出為輸入的線性組合，即\(g = w \cdot x\)，線性濾波器最為常見；
- 非線性濾波器（Non-Linear Filter）：不滿足上條性質的為非線性濾波，典型的非線性濾波如最大值/最小值/中值濾波、膨脹/腐蝕等；
- 自適應濾波器（Adaptive filter）：線性濾波中的\(w\)在滑動過程中固定不變（與圖像內容獨立無關），自適應濾波的\(w\)在滑動過程中會隨着窗口內像素的性質和結構發生變化。直覺上，自適應濾波器在某些復雜情況下可能取得更好的效果，但相對線性濾波器，其計算代價更高也更難優化加速。
從濾波目的或者解決的問題上，也可分成3類：
- 圖像處理：並不想從圖像中提取信息，只想將圖像轉換成期望的樣子；
- 特征提取：想從圖像中提取到某些信息，比如梯度、二階導、紋理等；
- 模式檢測：想知道圖像局部長什么樣子，像哪種模式，比如模板匹配、稀疏表示等；
這兩種分類方式並不是割裂的，而是互相交叉的，用於圖像處理的濾波器也有線性、非線性、自適應之分。
Padding
濾波操作不可避免的一個問題是邊界如何處理，當濾波器的中心壓在圖像邊界處時，濾波器會有一部分落在圖像外，但圖像外並沒有像素，該如何處理？通常需要對圖像進行填充（padding），填充需要解決2個問題，填充的元素取什么值以及填充多少個元素。
對於延拓元素的取值，通常有4種方式，
- 常數填充（0填充）：填充的元素取相同的常數值
- 周期填充（circular）：認為圖像的上下左右被與自身相同的圖像包圍着
- 復制填充（replicate）：復制圖像邊界的元素
- 對稱填充（symmetric）：填充的元素與圖像關於邊界對稱
4種填充方式依次如下圖所示，
對於填充多少個元素，通常有3種方式，令濾波器的大小為$g\times g $ ，圖像大小為\(f \times f\) ，
- full：邊界分別填充\(g-1\)個元素，濾波結果為\((f+g-1)\times (f+g-1)\)，比原圖大
- same：邊界分別填充\((g-1)/2\)個元素，濾波結果為\(f\times f\)，與原圖大小相同
- valid：邊界不填充，濾波結果為\((f-g+1)\times (f-g+1)\)，比原圖小
濾波雜談
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基本假設：局部相關性（遠處無關）、局部相似（edge處不滿足）、噪聲隨機
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靜止圖像的去噪，若能獲得圖像序列，可以在時域上濾波（均值、中值等）；單張圖像在空域上濾波。
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椒鹽噪聲用中值濾波。椒鹽噪聲會隨機地將像素置為黑或白，在實踐中，會大幅改變像素值的噪聲一般采用中值濾波都是有效的。
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非椒鹽噪聲，均值為0的隨機噪聲（高斯噪聲），可通過moving average濾波。
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與圖像內容耦合的噪聲，可能需要依賴先驗知識，采用合適的自適應濾波器，更多內容可以查看參考鏈接。
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平滑相當於低通、銳化相當於高通、不同平滑半徑的差相當於帶通。
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濾波的加速可以考慮：濾波器是否行列可分離、緩存不必要的重復計算、近似計算、SIMD等。
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差分算子對噪聲敏感，所以差分前通常要先平滑。
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考慮到噪聲，求梯度前通常要先（高斯）平滑再使用差分算子，sobel算子可以看成是DoG（Derivative of Gaussian）的近似，可以拆分成平滑和差分，如下所示，所以可以用sobel求梯度。
\[\mathbf{G}_{x}=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right] *\left(\left[\begin{array}{lll}{+1} & {0} & {-1}\end{array}\right] * \mathbf{A}\right) \quad \text { and } \quad \mathbf{G}_{y}=\left[\begin{array}{c}{+1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right] *\left(\left[\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1}\end{array}\right] * \mathbf{A}\right) \] -
考慮到噪聲，求二階導前通常也要先（高斯）平滑再使用拉普拉斯算子，兩者合在一起即LoG（Laplacian of Gaussian），即對高斯求二階導再離散采樣，通常可以用DoG（Difference of Gaussian）即兩個不同size高斯核的差近似，詳見Laplacian/Laplacian of Gaussian，其中Laplacian算子為
\[\nabla^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \]
兩種常用的2D離散近似形式如下：
- 模式檢測需要根據期望探測的模式來定義filter，因為不同場景需要檢測的模式不同，所以filter也多種多樣。反映模式的filter可以根據領域知識來人工定義、可以通過SOM（Self Organizing Map）無監督生成、也可以像CNN那樣通過數據驅動有監督學習得到。比如，模板匹配中的模板為filter，相似度函數為濾波的計算方法；稀疏表示中字典的每一列都是filter，像gabor小波字典，通過相關運算計算與每個filter的相似程度，從而知道每個圖像局部“長什么樣子”。