第九章：關鍵利率久期和 VaR 分析
思維導圖
一些想法
- 在解關鍵方程的時候施加 \(L^1\) 約束也許可以得到“稀疏解”，進而減少交易成本。
- 借鑒樣條插值擬合期限結構時選擇 knot 的方法選擇關鍵期限。
有關現金流映射技術的推導
已知，
\[\Delta y(t) = \begin{cases} \Delta y(t_{first}) & t \le t_{first}\\ \Delta y(t_{last}) & t \ge t_{last}\\ \alpha \Delta y(t_{left}) + (1-\alpha) \Delta y(t_{right})& \text{ else} \end{cases} \]
\[\alpha = \frac{t_{right}-t}{t_{right} - t_{left}} \]
\[t_{left} < t < t_{right} \]
求解 \(CF_{left}\)、\(CF_{right}\) 和 \(CF_0\) 使得：
\[\begin{aligned} P &= \frac{CF_t}{e^{y(t)t}} \\ &= \frac{CF_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}} + \frac{CF_{right}}{e^{y(t_{right})t_{right}}} + CF_0 \end{aligned} \tag{1} \]
要求關鍵利率久期不變，那么：
\[\begin{aligned} \frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t_{left})} &=\frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t)} \frac{\partial y(t)}{\partial y(t_{left})}\\ &\approx\frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t)} \frac{\Delta y(t)}{\Delta y(t_{left})}\\ &\approx-\frac{1}{P} \frac{CF_t\times t}{e^{y(t)t}} \alpha\\ &=-t\alpha \\ \frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t_{left})} &=\frac{1}{P} \frac{\partial \left(\frac{CF_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}} + \frac{CF_{right}}{e^{y(t_{right})t_{right}}} + CF_0 \right) }{\partial y(t_{left})}\\ &=-\frac{1}{P} \frac{CF_{left}\times t_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}} \end{aligned} \]
解出
\[CF_{left} = \frac{t \alpha P e^{y(t_{left})t_{left}}}{t_{left}} \tag{2} \]
同理解出
\[CF_{right} = \frac{t (1-\alpha) P e^{y(t_{right})t_{right}}}{t_{right}} \tag{3} \]
（2）和（3）代入（1）解出
\[CF_0 = P \times \frac{(t-t_{left})(t-t_{right})}{t_{left} \times t_{right}} \]