二分搜索樹是為了快速查找而生，它是一顆二叉樹，每一個節點只有一個元素（值或鍵值對），左子樹所有節點的值均小於父節點的值，右子樹所有的值均大於父節點的值，左右子樹也是一顆二分搜索樹，而且沒有鍵值相等的節點。它的查找、插入和刪除的時間復雜度都與樹高成比例，期望值是O(log n)。
但是插入數組如[]，二分搜索樹的缺點就暴露出來了，二分搜索樹退化成線性表，查找的時間復雜度達到最壞時間復雜度O(n)。
動畫：二分搜索樹退化成線性表
那有沒有插入和刪除操作都能保持樹的完美平衡性（任何一個節點到其葉子節點的路徑長度都是相等的）？
有，B樹。B樹是一種自平衡的樹，根節點到其葉子節點的路徑高度都是一樣的，能夠保持數據有序（通過中序遍歷能得到有序數據）。B樹一個節點可以擁有2個以上的子樹，如2-3樹、2-3-4樹甚至2-3-4-5-6-7-8樹，它們滿足二分搜索樹的性質，但它們不屬於二叉樹，也不屬於二分搜索樹。
2-3-4樹的完美平衡，每條從根節點到葉子節點的路徑的高度都是一樣的
2-3-4樹有以下節點組成：
2-節點，含有一個元素（值或鍵值對）和兩個子樹（左右子樹），左子樹所有的值均小於父節點的值，右子樹所有的值均大於父節點的值；
3-節點，含有兩個元素和三個子樹，左子樹所有的值均小於父節點最小元素的值，中間子樹所有的值均位於父節點兩個元素之間，右子樹所有的值均大於父節點最大元素的值；
4-節點，含有三個元素和四個子樹，節點之間的比較也滿足二分搜索樹的性質。
2-3-4樹查找算法
2-3-4樹的查找類似二分搜索樹的查找。
2-3-4樹插入算法
2-3-4樹的插入算法是消除當前節點是4-節點，將4-節點分解成多個2-節點，中間的2-節點與父節點合並成3-節點或4-節點。
沿着鏈接向下進行變換分解4-節點分為兩種情況：
1）4-節點作為根節點，分解成3個2-節點，中間的2-節點作為根節點；
2）當前節點為4-節點，分解成3個2-節點，中間的2-節點與父節點合並成3-節點或4-節點；
圖：沿着鏈接向下進行變換，分解4-節點
在沿着左右鏈接向下進行變換的同時，也會進行命中查找。如果元素是鍵值對的話，查找命中將舊的值賦值為新的值；如果元素是一個值的話，查找命中將忽略之，因為二分搜索樹需要滿足沒有相等的元素；如果需要支持重復的元素，則在元素對象添加count屬性，默認為1。
如果查找未命中，則將待插入元素插入在葉子節點上。樹底下插入一個元素只有兩種情況：向2-節點中插入和向3-節點中插入。
圖：樹底下插入一個元素
2-3-4樹刪除算法
2-3-4樹的刪除算法是消除當前節點是2-節點，向兄弟節點或父節點借一個元素過來。
刪除最小元素
從根節點的左孩子開始，沿着左鏈接向下進行變換可以分為三種情況：
1）當前節點不是2-節點，跳過；
2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點最小元素和兄弟節點合並為4-節點，當前節點變換成4-節點；
3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最小元素移到父節點，父節點的最小元素移到當前節點，當前節點變換成3-節點。
圖：沿着左鏈接向下進行變換
刪除最大元素
從根節點的右孩子開始，沿着右鏈接向下進行變換也同樣分為三種情況：
1）當前節點不是2-節點，跳過；
2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點的最大元素和兄弟節點合並為4-節點，當前節點變換成4-節點；
3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最大元素移到父節點，父節點的最大元素移到當前節點，當前節點變換成3-節點。
圖：沿着右鏈接向下進行變換
刪除任意元素
學習過刪除最小元素和刪除最大元素算法之后，刪除任意元素的算法自然就簡單了。刪除任意元素算法需要先進行命中查找，若查找命中，則將右子樹的最小值替換掉待刪除元素，然后將右子樹進行刪除最小元素的算法。
2-3-4樹雖滿足二分搜索樹的性質，但不是一顆二分搜索樹。如果期望它是一顆二分搜索樹，就需要將3-節點和4-節點替換為多個2-節點，還需要注明元素之間的關系（用紅鏈接表示）。
替換3-節點和4-節點
圖：替換3-節點
圖：替換4-節點
但是存在一個問題，2-3-4樹因為3-節點的不同表示會有很多種不同的紅黑樹，3-節點既可以左傾，也可以右傾。所以為了保證樹的唯一性，3-節點只考慮左傾，當然你也可以只考慮右傾。
這樣對於任何一顆2-3-4樹，只考慮左傾的情況下，都能得到唯一的一顆對應的紅黑樹，這種樹也叫左傾紅黑樹，相對比較減少了復雜性，設計更容易被實現。
紅黑樹查找算法
紅黑樹的查找算法和二分搜索樹一樣。
關於鏈接的顏色變換只跟顏色轉換有關，而旋轉不會改變鏈接的顏色變換，只在被紅鏈接指向的節點變成紅色，被黑鏈接指向的節點變成黑色。
旋轉
旋轉是將不滿足紅黑樹性質的3-節點和4-節點進行旋轉，如果3-節點出現右鏈接，則將右鏈接通過左旋轉變成左鏈接；如果4-節點出現一個紅節點連着兩條紅鏈接，則將4-節點配平。
左旋轉
圖：左旋轉
右旋轉
圖：右旋轉
圖：3-節點和4-節點的旋轉
Code：右旋轉和左旋轉
顏色轉換
顏色轉換只應用於4-節點。
圖：顏色轉換
Code：顏色轉換
紅黑樹插入算法
回顧之前的2-3-4樹的插入算法，它有兩個過程：沿着鏈接向下進行分解4-節點和樹底下插入一個元素。
紅黑樹的插入算法和2-3-4樹的插入算法類似，它不僅包含前面兩個過程，還增加了向上進行變換的過程，此過程是將3-節點左傾和4-節點配平。
紅黑樹插入算法會先從根節點開始，沿着左右鏈接向下進行變換，目的是為了分解4-節點。如果該節點的左右孩子都是紅節點，則通過flipColors方法進行顏色轉換，接着進行下一個子節點；如果不是，則直接進行下一個子節點。
到達樹底的時候，則意味着可以開始插入新的元素。
如果紅黑樹目前是一顆空樹，插入紅色的元素作為第一個節點，然后該節點變成黑色。如果不是一顆空樹，插入元素分為三種情況：向2-節點插入新元素、向3-節點插入新元素和向4-節點插入新元素。
向2-節點插入新元素
向2-節點插入新元素很簡單，如果新元素的值小於父節點，直接插入紅色的節點即可；如果新元素的值大於父節點，則產生一個紅色右鏈接，插完之后則將3-節點進行左旋轉，將右鏈接變成左鏈接，被紅鏈接指向的節點變成紅色，被黑鏈接指向的節點變成黑色。
圖：向2-節點插入新元素
向3-節點插入新元素
因為前面的3-節點進行過旋轉，此時的3-節點肯定滿足左傾紅黑樹的性質。向3-節點插入新元素分為三種情況：
1）新元素的值位於3-節點中的兩元素之間；
2）新元素的值小於3-節點中的最小元素；
3）新元素的值大於3-節點中的最大元素。
圖：向3-節點插入新元素
##### 向4-節點插入新元素
向4-節點插入新元素之前需要先進行顏色轉換，才可以進行插入新的元素。
圖：向4-節點插入新元素
插完新元素之后需要滿足紅黑樹的性質，則在沿着父節點的鏈接向上進行變換，具體做法和向3-節點插入新元素的做法類似，通過左旋轉將3-節點左傾和左右旋轉將4-節點配平，沒有顏色轉換。
動畫：2-3-4樹與紅黑樹的插入
Code：紅黑樹插入算法
紅黑樹刪除算法
紅黑樹刪除算法也需要進行旋轉和顏色轉換操作，在插入算法中為了待插入元素所在的節點不是4-節點，所以在沿着左右鏈接向下進行變換時將4-節點分解成3個2-節點，中間的2-節點與父節點合並；而在刪除算法中為了待刪除元素所在的節點不是2-節點，所以在沿着左右鏈接向下進行變換時將2-節點向其它不是2-節點的節點（兄弟節點或父節點）借一個元素過來，合並成3-節點。
所以，只要是2-節點的節點，如果兄弟節點不是2-節點，就將兄弟節點的與父節點鄰近的元素移到父節點，而父節點將與當前節點鄰近的元素移到當前節點；如果兄弟節點是2-節點，則將父節點的與當前節點鄰近的元素移到當前節點。（是不是很繞？待會在后面刪除最值算法中詳細給出）
然后刪除完一個元素之后需要進行修復調整，將這個樹滿足紅黑樹的性質。如果右鏈接是紅色，將右鏈接通過左旋轉變成左鏈接；如果有連續的左鏈接，通過右旋轉配平，然后進行顏色轉換。
Code：向上變換（修復調整）
刪除最小元素
刪除最小元素算法和二分搜索樹一樣，一直遞歸它的左孩子，直到它的左孩子為空才進行刪除這個最小元素。但是紅黑樹在遞歸的同時如何旋轉和顏色轉換是個問題。
刪除最小元素算法一直沿着左鏈接向下進行轉換，對照2-3-4樹，我們可以給出三種情況，從根節點開始：
1）當前節點（父節點位置）的左子節點不是2-節點，直接進行下一個節點（左子節點）；
2）當前節點的左子節點和右子節點都是2-節點，則將左子節點、當前節點的最小元素和右子節點合並成4-節點，然后進行下一個節點；
3）當前節點的左子節點是2-節點，右子節點不是2-節點，則將右子節點的最小元素移到當前節點的位置，當前節點的最小元素移到左子節點，然后進行下一個節點。
圖：沿着左鏈接向下進行轉換
Code：沿着左鏈接向下變換
直到某元素左孩子為空的時候，此時的元素是這個樹的最小元素。因為通過前面的轉換，最小元素肯定被一個紅鏈接指向，刪除這個元素之后通過balance方法修復調整為紅黑樹。
Code：刪除最小元素算法
刪除最大元素
刪除最大元素算法和刪除最小元素算法類似的，也分為三種情況：
1）當前節點（父節點位置）的右子節點不是2-節點，直接進行下一個節點（右子節點）；
2）當前節點的右子節點和左子節點都是2-節點，則將右子節點、當前節點的最大元素和左子節點合並成4-節點，然后進行下一個節點；
3）當前節點的右子節點是2-節點，左子節點不是2-節點，則將左子節點的最大元素移到當前節點的位置，當前節點的最大元素移到左子節點，然后進行下一個節點。
圖：沿着右鏈接向下進行變換
Code：沿着右鏈接向下變換
Code：刪除最大元素算法
刪除任意元素
學習過前面的刪除最小元素算法和刪除最大元素算法，刪除任意元素會變得很簡單。刪除最小元素算法會一直沿着左鏈接向下進行變換，刪除最大元素算法會一直沿着右鏈接向下進行變換，而刪除任意元素算法需要同時存在着左右鏈接向下進行變換。
刪除任意元素算法需要先進行命中查找，在命中查找的過程中會進行沿着左右鏈接向下變換，如果查找命中則將右子樹的最小元素替換掉待刪除元素，然后進行右子樹的刪除最小元素算法；如果查找未命中，則直接返回balance函數，向上將3-節點左傾或將4-節點配平。
Code：刪除任意元素算法
動畫：2-3-4樹與紅黑樹的刪除
學習完上面的算法之后，可以總結下紅黑樹的性質：
1）每個節點或是紅色的，或是黑色的；
2）根節點是黑色的；
3）每個葉子節點（NIL）是黑色的；
4）如果一個節點是紅色的，則它的兩個子節點都是黑色的（NIL節點也是黑色的）；
5）對每個結點，從該節點到其所有后代葉子節點的簡單路徑上，均包含相同數目的黑色節點（黑鏈接平衡）。
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