關於線段樹的那些奇技淫巧

目錄對你說：我在右邊
如果你不會線段樹，戳這里

維護區間max/min值:

這就是push_up()淺顯易懂.

void push_up(int rt) {
	tree[rt].max = max(tree[lson].max, tree[rson].max);
	tree[rt].min = min(tree[lson].min, tree[rson].min);
}

建樹的時候就那樣建，push_down的時候看一下max和min都改成lazy就行了.
有的時候用不到push_down();

query

也很好懂，和求區間和差不多.
有修改操作的時候可以加上pushd_down();

int query_max(int rt, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return tree[rt].max;
	int mid = (l + r) >> 1, maxn = -1;
	if (L <= mid) maxn = max(maxn, query_max(lson, l, mid, L, R));
	if (R > mid) maxn = max(maxn, query_max(rson, mid + 1, r, L, R));
	return maxn;
}

維護區間和+區間開平方.

這是個好題
強烈推薦GSS毒瘤數據結構，在洛谷可以搜到，做完之后會感覺自己的思維得到了升華.
A一題提神醒腦，A倆題永不疲勞，A仨題長生不老
因為一個大整數\(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{n}}}}}} = 1\)我們可以用lazy判斷一下這個區間開了幾次，如果大於等於6的話就沒必要搞了（然而我沒寫）
而且開方的時候判斷一下區間的最大值是不是1，如果區間的最大值都是1了，那么其他的必然也是1，就沒有必要在開方了.

關於更新:

void update(int L, int R, int l, int r, int rt) {
    if (l == r) {
        t[rt].sum = sqrt(t[rt].sum);
        t[rt].mx = sqrt(t[rt].mx);
        return ;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    if (L <= m && t[lson].mx > 1) update(L, R, l, m, lson);
    if (R > m && t[rson].mx > 1) update(L, R, m + 1, r, rson);
    pushup(rt);
}

查詢就不用說的吧，和區間求最大值一樣啊。

區間最大子段和.

好題 可以說是裸題.
難點在於push_up和query

push_up

void push_up(int rt) {
	tree[rt].sum = tree[lson].sum + tree[rson].sum;//這就是普通的區間和
	
	tree[rt].qian = max(tree[lson].qian, tree[lson].sum + tree[rson].qian);
	tree[rt].hou = max(tree[rson].hou, tree[rson].sum + tree[lson].hou);
	//區間的前綴和的最大值就是左區間的前綴和和（右區間的全綴合加上左區間的和）取max
	//區間后綴和類比可得
	tree[rt].zi = max(tree[lson].zi, tree[rson].zi);
	tree[rt].zi = max(tree[rt].zi, tree[lson].hou + tree[rson].qian);
	//最大子段和就是左右區間最大子段和，還有左區間后綴和加上右區間前綴和取max
}

關於query:

node unioc(node a, node b) {
	node ans;//區間合並可類比push_up
	ans.sum = a.sum + b.sum;
	ans.zi = max(a.zi, b.zi);
	ans.zi = max(a.hou + b.qian, ans.zi);
	ans.qian = max(a.qian, a.sum + b.qian);
	ans.hou = max(b.hou, b.sum + a.hou);
	return ans;
}

node query(int rt, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return tree[rt];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L > mid) return query(rson, mid + 1, r, L, R);//如果這個區間都在右邊，直接在右邊算就行
	if (R <= mid) return query(lson, l, mid, L, R);//爭端區間都在左邊
	return unioc(query(lson, l, mid, L, R), query(rson, mid + 1, r, L, R));//如果兩端都有那么還要合並區間.
}

加上區間修改就變成了這個題
也挺簡單的，只要你會了上邊那個.
區間修改也挺簡單的.通俗易懂。

void change(int rt, int c, int l, int r, int pos) {
	if (l == r) {
		tree[rt].sum = tree[rt].ls = tree[rt].rs = tree[rt].mis = c;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (pos <= mid) change(lson, c, l, mid, pos);
	if (pos > mid) change(rson, c, mid + 1, r, pos);
	push_up(rt);
}

維護區間gcd

我們都知道\(gcd(a, b) = gcd(b, a-b)\)(更相減損術)
我們將上述式子擴展到3項我們就會發現
\(gcd(a,b,c)=gcd(b,b−a,c−b)\)
很明顯這就是一個差分數組
我們只需要開一棵線段樹來維護差分數組gcd
但是我們發現最前邊的這個b我們維護的是當前這個點的差分值
所以這就說明我們還需要開一個東西來維護每一個點的值
而且還要支持區間修改（樹狀數組是一個好東西）

關於push_up

其實和求區間最大值差不多

void push_up(int rt) {
	tree[rt].gcd = abs(gcd(tree[lson].gcd, tree[rson].gcd));
}

關於查詢

我們需要查詢一個最前邊的值的大小，還有剩下的值的gcd
然后兩者求一個gcd

ll query(int rt, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return tree[rt].gcd;
	int mid = (l + r) >> 1;ll g = 0;
	if (L <= mid) g = abs(gcd(g, query(lson, l, mid, L, R)));
	if (R > mid) g = abs(gcd(g, query(rson, mid + 1, r, L, R)));
	return g;
}
ll ask(int b) { 
      ll ans = 0; 
      while (b) 
            ans += t[b], b -= lowbit(b); 
      return ans; 
}

x = read(), y = read();
ll ans = query(1, 1, n + 1, x + 1, y);
printf("%lld\n", abs(gcd(ans, ask(x))));

總結（思考方向）:

以后做線段樹的時候考慮怎么上傳，怎么下放，區間查詢的時候需不需要合並.
合並的時候需要注意什么問題.

【未完待續】