本文預計閱讀時間4分鍾，在讀的過程中你需要帶着以下問題:
-
分治算法的基本步驟
-
逆序對計數是如何使用分治算法來解決問題的
-
為什么MergeSort排序法可以自然的算出逆序對數目
分值策略一般步驟
-
把輸入划分成更小的子問題。
-
遞歸的治理子問題。
-
把子問題的解決方案組合到一起，形成原始問題的解決方案。
應用: 逆序對數目
輸入包含不同整數的數組A, 輸出A中逆序對的數量，逆序是指: 如果 i < j 而 A[i] > A[j]，那么 (i, j) 就是一組逆序對。
比如輸入的數組是
其中i = 2對應A[2] =3 ，j=4對應A[4]=2，2<4, 但是A[2] > A[4]，所以這是一組逆序對。
協同篩選
為什么要對數組的逆序對計算？
一個原因是想要計算一種數值相似度，該數值的相似度用於對兩個已排序列表之間的相似度進行量化。比如兩個人都看過10部電影，按照從最喜歡到最不喜歡的順序進行排列，那么怎么衡量兩個人的選擇是相似還是不相似的呢？解決這個問題的一種量化方法就是通過包含10個元素的數組A，A1表示讀者的朋友從電影列表中選擇最喜歡的電影，a2表示他喜歡第二的電影，以此類推，a10表示他最不喜歡的電影，這樣如果讀者最喜歡的電影是星球大戰，而這部電影在讀者的列表中只顯示的第5位，那么a1就等於5，如果兩個人的排序是相同的，這個數組就已經排序了，不存在逆序對，如果這個數組包含的逆序對越多，讀者和朋友之間對電影評價的分歧就越多，對電影的偏好就不同了。
對已排序列表進行相似性測量的另一個原因就是協同篩選，這是一種任意生成推薦方案的方法，網站就怎么推出關於產品電影歌曲內容的建議呢？在協同篩選中，其思路就是尋找其他與它相似偏好的用戶，然后推薦他們所喜歡的內容。因此協同篩選需要用戶“相似性”的定義，而計算逆序對就可以捕捉問題的本質。
暴力解法
我們首先想到的就是暴力窮舉搜索法，輸入一個數組A，里面包含不同的整數，輸出的是它的逆序對個數，以上就是暴力解法的偽代碼。外層循環i表示從左到右的遍歷數組A中的元素，內層循環j是沒有與i對比過的元素，逆序了就累加。它的缺點是時間復雜度很高，O(n^2)。
分而治之思想
如果我們用分治算法來算這個問題的話，第一個步驟就是把數組A划分成更小的子問題，我們把A平均的划分成兩個部分，左邊和右邊，這樣數組規模就變小了，這樣划分下就有三種情況:
-
第1種就是逆序對 i 和 j 都位於數組的左半部分，就是下標 i 和 j 是小於等於n/2的
-
第2種情況是逆序對 i 和 j 位於數組的右半部分
-
第3種情況是逆序對 i 位於左半部分 j 位於右半部分，以上是偽代碼。
接下來我們需要解決子問題，對於情況1，2其實就是調用自身的遞歸，所以我們只用實現第3鍾情況CountSplitInv。
MergeSort思想
在CountInv的偽代碼中，需要實現CountSplitInv函數，我們之前講的MergeSort排序算法天然的可以計算逆序對數目，而它實現的思路又是兩個已排序的數組合並成一個新數組，上面的CountInv的情況3實際就是i在左邊數組中，j在右邊數組中，而左右兩邊的數組沒有排序，所以我們對他兩排一下序就能引用MergeSort算法。我們稍微的修改一下上面的偽代碼，使得遞歸后除了返回逆序對數目，還要返回排序后的數組，下面是修改后的偽代碼。
那么以上在處理逆序對 i, j 一個在左邊一個在右邊這種情況的時候，就可以用上之前的MergeSort算法，現在我們來回顧一下。
以上是MergSort的偽代碼，它是輸入已排序的C和D，輸出是排序好的B。i，j分別控制C，D的元素，哪個元素小就把它加入到B中。那么，這里的C就是原問題中的左半部，D就是原問題的右半部分，當C[i] > D[j] 的時候，說明產生了逆序對，而C又是排序后的，所以i之后的數字都是大於D[j]的，所以對於D[j]所帶來的逆序對數目就是C數組i到最后的元素個數，所以，我們可以在排序的基礎上計算出逆序對個數。把這一段話翻譯成偽代碼就是如下。
這樣就完成了分治算法對於逆序對的計算。時間復雜度是O(nlogn)，比暴力搜索快很多。文章開頭的問題你想通了嗎？