學習筆記126—單因素方差分析（One Way ANOVA）

本文轉載自查看原文 2020-01-09 09:29 1295 統計學/ 科研達人

Analysis of variance (ANOVA) is a collection of statistical models and their associated estimation procedures (such as the "variation" among and between groups) used to analyze the differences among group means in a sample. ANOVA was developed by statistician and evolutionary biologist Ronald Fisher.

什么是單因素方差分析

　　單因素方差分析是指對單因素試驗結果進行分析，檢驗因素對試驗結果有無顯著性影響的方法。

　　單因素方差分析是兩個樣本平均數比較的引伸，它是用來檢驗多個平均數之間的差異，從而確定因素對試驗結果有無顯著性影響的一種統計方法。

單因素方差分析相關概念

因素：影響研究對象的某一指標、變量。
水平：因素變化的各種狀態或因素變化所分的等級或組別。
單因素試驗：考慮的因素只有一個的試驗叫單因素試驗。

單因素方差分析示例

　　例如，將抗生素注入人體會產生抗生素與血漿蛋白質結合的現象，以致減少了葯效。下表列出了5種常用的抗生素注入到牛的體內時，抗生素與血漿蛋白質結合的百分比。現需要在顯著性水平 $α = 0.05下檢驗這些百分比的均值有無顯著的差異。設各總體服從正態分布，且方差相同。$

青霉素	四環素	鏈霉素	紅霉素	氯霉素
29.6	27.3	5.8	21.6	29.2
24.3	32.6	6.2	17.4	32.8
28.5	30.8	11.0	18.3	25.0
32.0	34.8	8.3	19.0	24.2

　　在這里，試驗的指標是抗生素與血漿蛋白質結合的百分比，抗生素為因素，不同的5種抗生素就是這個因素的五個不同的水平。假定除抗生素這一因素外，其余的一切條件都相同。這就是單因素試驗。試驗的目的是要考察這些抗生素與血漿蛋白質結合的百分比的均值有無顯著的差異。即考察抗生素這一因素對這些百分比有無顯著影響。這就是一個典型的單因素試驗的方差分析問題。

單因素方差分析的基本理論

　　與通常的統計推斷問題一樣，方差分析的任務也是先根據實際情況提出原假設 $H 0 與備擇假設 H 1 ，然后尋找適當的檢驗統計量進行假設檢驗。本節將借用上面的實例來討論單因素試驗的方差分析問題。$

　　在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）個水平 $A_1,A_2,\cdots,A_5$ ，在每一個水平 $A_j(j=1,2,\cdots,s)$ 下進行了 $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_s$

　　 $H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_s$

　　 $H_1:\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_s$ 不全相等

為了便於討論，現在引入總平均 $μ$

　　 $\mu=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^s n_j \mu_j$ 其中： $n=\sum_{j=1}^s n_j$

再引入水平 $A j 的效應 δ j$

$\delta_j=\mu_j-\mu(j=1,2\ldots,s)$

顯然有 $n_1\delta_1+n_2\delta_2+\cdots+n_s\delta_s=0$ ， $δ j 表示水平 A j 下的總體平均值與總平均的差異。$

利用這些記號，本例的假設就等價於假設

　　 $H_0:\delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_s=0$

　　 $H_1:\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_s$ 不全為零

因此，單因素方差分析的任務就是檢驗s個總體的均值 $μ j 是否相等，也就等價於檢驗各水平 A j 的效應 δ j 是否都等於零。$

　　2. 檢驗所需的統計量

　　假設各總體服從正態分布，且方差相同，即假定各個水平 $A_j(j=1,2,\cdots,s)$ 下的樣本 $x_{1j},x_{2j},\cdots,x_{n_jj}$ 來自正態總體 $N (μ j,σ 2)， μ j 與 σ 2 未知，且設不同水平 A j 下的樣本之間相互獨立，則單因素方差分析所需的檢驗統計量可以從總平方和的分解導出來。下面先引入：$

　　水平 $A j 下的樣本平均值:$

　　 ${\overline x}_{\bullet j}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}$

　　數據的總平均:

　　 $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^s\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^sn_j{\overline x}_{\bullet j}$

　　總平方和:

　　 $S_T=\sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^{n_j}{(x_{ij}-\overline x)}^2$

總平方和 $S T 反映了全部試驗數據之間的差異，因此 S T 又稱為總變差。將其分解為$

　　 $S T = S E + S A$

其中:

　　 $S_E=\sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^{n_j}{(x_{ij}\overline x}_{\bullet j})}^2$

　　 $S_A=\sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^{n_j}{({\overline x}_{\bullet j\overline x)}^2=\sum_{j=1}^s n_j({\overline x}_{\bullet j}-\overline x)^2)$

上述 $(x_{ij}\overline x}_{\bullet j})^2$

　　可以證明 $H_0:\delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_s=0$

　　 $S A / σ 2 ˜χ 2 (s - 1)$

　　 $S E / σ 2 ˜χ 2 (n - s)$

於是，當 $H_0:\delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_s=0$ 為真時

　　 $F=\frac{(S_A)/(s-1)}{(S_E)/(n-s)}=\frac{\frac{S_A}{\sigma^2}/(s-1)}{\frac{S_E}{\sigma^2}/(n-s)} \sim F(s-1,n-s)$

這就是單因素方差分析所需的服從F分布的檢驗統計量。

　　3. 假設檢驗的拒絕域

　　通過上面的分析可得，在顯著性水平 $α下，本檢驗問題的拒絕域為$

　　 $F=\frac{(S_A)/(s-1)}{(S_E)/(n-s)}\le F_{\alpha}(s-1,n-s)$

為了方便分析比較，通常將上述分析結果編排成如下表所示的方差分析表。表中的 $\overline S_A,\overline S_E$ 分別稱為 $S A, S E 的均方。$

方差來源	平方和	自由度	均方	F比
因素A	$S A$	$s - 1$	$\overline S_A=\frac{S_A}{s-1}$	$F=\frac{\overline S_A}{\overline S_E}$
誤差	$S E$	$n - s$	$\overline S_E=\frac{S_E}{n-s}$
總和	$S T$	$n - 1$

參考文獻

趙丹亞，邵麗.中文版Excel2000應用案例.人民郵電出版社,2000年01月第1版

參考鏈接：https://www.cnblogs.com/sddai/p/10040790.html

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