算法期末備考-第5練-動態規划

算法期末備考-第5練

 

【主要內容】

動態規划

背包類型的dp：01背包

線性dp：最長公共子序列，編輯距離

經典例題： 獨立任務最優調度，最大子段和

 

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01背包

【題目鏈接】

https://www.acwing.com/problem/content/2/

【題目描述】

有 N 件物品和一個容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入背包，可使這些物品的總體積不超過背包容量，且總價值最大。 輸出最大價值。

【數據范圍】

0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000

【輸入樣例】

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

【輸出樣例】

8

 

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【題解】 設 ​f[i][j]挑選前i個物品放入背包在容量為j時，獲取的最大價值。

在挑選第i個物品時，當能放入的情況下，寫出對應的狀態轉移方程：

​

即放入時，騰出對應的空間出來放物品，同時獲取對應的價值。

最后相比較，在放與不放之間取最大值

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10 ;
int f[N][N] , v[N] , w[N] ;
int main()
{
    int n , V ;
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    }
    
    //枚舉物品
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        //枚舉背包容量
        for( int j = 0 ; j <= V ; j ++ ){
            //如果能承載該物品,基於前i-1個物品的情況后放入,若能比不放 的價值大則替換
            if( j >= v[i] ){
                f[i][j] = max( f[i-1][j] , f[i-1][j-v[i]] + w[i] );
            }
            //若不能放入,則維持原來的價值.
            else{
                f[i][j] = f[i-1][j] ;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[n][V]);
    return 0;
}

 

 

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最長公共子序列

【題目鏈接】

https://www.acwing.com/problem/content/899/

【題目描述】

給定兩個長度分別為N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串長度最長是多少。

【數據范圍】

1≤N≤1000

【輸入樣例】

4 5
acbd
abedc

【輸出樣例】

3

 

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【題解】

對於字符串ABCDE BD是其中一個子序列

設​f[ i ][ j ] 為A串前i個字符與B串前j個字符 兩者構成最長的子序列 的 長度。

 

狀態轉移方程為：

當兩個字符相同時

否則

　​

其含義為：

在匹配第i個和第j個相符時，我們可以把問題轉移到 f(i-1,j-1)，同時長度+1。

否則，問題拋給 f( i - 1 , j ) , f( i , j - 1 )

 

【具體代碼】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3+10 ;
char A[N] , B[N] ;
int f[N][N] ;
int main()
{
    int n , m ;
    scanf("%d%d%s%s",&n,&m,A+1,B+1);
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        for( int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){
            if( A[i] == B[j] ){
                f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1 ;
            }else{
                f[i][j] = max( f[i-1][j] , f[i][j-1] );
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0 ;
}

 

 

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編輯距離

【題目鏈接】

https://www.acwing.com/problem/content/904/

【題目描述】

給定兩個字符串A和B，現在要將A經過若干操作變為B，可進行的操作有：

1. 刪除–將字符串A中的某個字符刪除。

2. 插入–在字符串A的某個位置插入某個字符。

3. 替換–將字符串A中的某個字符替換為另一個字符。

現在請你求出，將A變為B至少需要進行多少次操作。

【數據范圍】

1≤n,m≤1000

【輸入樣例】

10 
AGTCTGACGC
11 
AGTAAGTAGGC

【輸出樣例】

4

 

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【題解】

設​ f[i][j] 為A串前i個字符通過編輯變成B串中前j個字符 所需要最少的操作步數。

編輯有三種操作，對應着三種情況。

A串前i個字符編輯成B串前j個字符。

 

增加一個字符:

​

刪除一個字符:

​

修改一個字符：

​

 

f[ i ] [ j ] ​就是以上三種情況取最小值即可。

 

【具體代碼】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10 ;
char A[N],B[N] ;
int f[N][N] ;
int main(){
    int n , m ;
    scanf("%d%s%d%s",&n,A+1,&m,B+1);
​
    memset( f , 0x3f , sizeof f );
    for( int i = 0 ; i <= n ; i++ ) f[i][0] = i ;
    for( int j = 0 ; j <= m ; j++ ) f[0][j] = j ;
​
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        for( int j = 1 ; j <= m ; j++ ){
            f[i][j] = min( min( f[i-1][j] + 1 , f[i][j-1] + 1 ) , f[i-1][j-1] + ( A[i] != B[j] ) );
        }
    }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0 ;
}

 

 

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最大子段和

【題目鏈接】

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray

【題目描述】

給定一個整數數組 nums ，找到一個具有最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 輸出: 6 解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

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【題解】

最大字段和，其字段是“連續”的一段，不是片段。

因為給定的一系列數里面可能有負數。

[-1，2，3，-6，7]序列中最大子段和值為7。

從左往右看，我們肯定是從一個正數開始的,[2,3]=5，但是遇到-6后發現不能繼續延伸了，因為此時已經累計和為-1，如果是繼承前面的累加和，而是直接從自己開始，所以是7.

 

根據上述分析后，我們直接定義

​f[i] 為前i個數字最大子段和。

答案就是過程中找到。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10 ;
int n ;
int a[N] ;
int f[N] ;
int res = -0x3f3f3f3f ;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        //從左邊累加過來或者從當前位置開始
        f[i] = max( f[i-1] , 0 ) + a[i] ;
        res = max( res , f[i] ) ;
    }
    /*
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        printf("%3d",f[i]);
    }
    puts("");
    */
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}
/*
9
-2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4
​
6
 */

 

 

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獨立任務最優調度

【題目描述】

獨立任務最優調度，又稱雙機調度問題：用兩台處理機A和B處理n個作業。設第i個作業交給機器A處理時所需要的時間是a[i]，若由機器B來處理，則所需要的時間是b[i]。現在要求每個作業只能由一台機器處理，每台機器都不能同時處理兩個作業。設計一個動態規划算法，使得這兩台機器處理完這n個作業的時間最短（從任何一台機器開工到最后一台機器停工的總的時間）。研究一個實例：n=6, a = {2, 5, 7, 10, 5, 2}, b = {3, 8, 4, 11, 3, 4}.

【參考博客】

https://www.jianshu.com/p/1e8a1a617c3b

【題解】

其實應該有一個嚴格的壓維過程的，參考博客中已經展示出來了。

我認為可以直接看參考博客，簡單易懂。

 

【個人見解】

完全是個人見解。

問題其實就好比01背包問題。

兩台機器的最優調度，第一台機器處理的任務 好比背包里的物品，同時不在背包里的物品則為另外一台機器所處理的任務。

物品的代價是時間，價值也是時間。

背包問題最優解不再是背包里的價值最大，而是放進背包里的總價值，和沒有放入背包的物品的總價值 之間取的最大值。

首先要知道這個物品在背包時的價值與不放入背包時的價值不一樣。

放入時價值為：a[i] , 沒有放入時為：b[i]

如果有一種情況是：放入背包里所有的價值之和A，與其不放入的價值之和B。

答案就是max{A,B}。

但是這僅僅是對於一種情況來說的，

而所有情況中取最小值。

 

設​f[ i ][ j ] 為完成前i個任務在背包為j時，不在背包里物品的總價值。

 

即j為放入背包中的總價值，而f[i][j]​為不放入背包中的總價值。

答案為：Max{ j , f[ i ][ j ]​ }

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10 ;
int f[N][N] ;
int a[N] , b[N] ;
int n ;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) scanf("%d",&a[i]);
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) scanf("%d",&b[i]);
    /*
    memset( f , 0x3f , sizeof f );
    for( int i = 0 ; i < a[1] ; i++ ) f[0][i] = 0 ;
    */
    int total_time_A = 0 ;
    int res = 0x3f3f3f3f ;
    for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ){
        total_time_A += a[i] ;
        for( int j = 0 ; j <= total_time_A ; j++ ){
            if( j < a[i] ){
                f[i][j] = f[i-1][j] + b[i] ;
            }else{
                f[i][j] = min( f[i-1][j] + b[i] , f[i-1][j-a[i]] );
            }
            if( i == n )
                res = min( res , max( f[n][j] , j ) ) ;
        }
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0 ;
}
​
/*
6
2 5 7 10 5 2
3 8 4 11 3 4
​
15
*/