正交多項式

這段代碼可以給出常用的4類正交多項式的具體表達式，后續將給出可自定義的任意正交多項式代碼

%%正交多項式
%%此函數包括勒讓德正交多項式，切比雪夫正交多項式（兩類），拉蓋爾正交多項式，埃爾米特正交多項式，輸入項數應從1開始
%%n是多項式的項數，n>=0,type是類型，分為Legendre、Chebyshev、Laguerre、Hermite，對應其正交多項式
function OP = Orthogonal_polynomial(type)
sym type;
if strcmp(type,'Legendre') == 1
    disp('目前輸出為勒讓德多項式');
    disp('定義區間為：');[-1 1]
    N = input('請輸入勒讓德多項式的項數：');
    L = Legendre(N);
    OP = simplify(L(N));
elseif strcmp(type,'Chebyshev') == 1
    disp('目前輸出為切比雪夫多項式');
    disp('定義區間為：');[-1 1]
    disp('在這里，規定第一類切比雪夫多項式是以1/sqrt(1-x^2)作為權函數，第二類切比雪夫多項式以sqrt(1-x^2)作為權函數得到的');
    class = input('請輸入需要輸出第幾類切比雪夫多項式（輸入1,2）即可：');
    N = input('請輸入切比雪夫多項式的項數：');
    Che = Chebyshve(N,class);
    OP = simplify(Che(N));
elseif strcmp(type,'Laguerre') == 1
    disp('目前輸出為拉蓋爾多項式');
    disp('定義區間為：');[0 +inf]
    N = input('請輸入拉蓋爾多項式的項數：');
    La = Laguerre(N);
    OP = simplify(La(N));
elseif strcmp(type,'Hermite') == 1
    disp('目前輸出為埃爾米特多項式');
    disp('定義區間為：');[-inf +inf]
    N = input('請輸入埃爾米特多項式的項數：');
    H = Hermite(N);
    OP = simplify(H(N));
end
%%勒讓德多項式
    function L = Legendre(N)
        x = sym('x');
        for i = 1:N
            Leg(i) = diff((x^2-1)^(i-1),i-1)/(factorial(i-1)*2^(i-1));
        end
        L = Leg;
    end
%%切比雪夫多項式
    function C = Chebyshve(n,class)
        x = sym('x');
        if class == 1
            T = string([1 x]);
            T = sym(T);
            if n <=2
                C = T(1:n);
            else
                for i = 2:n
                    T(i+1) = 2*x*T(i)-T(i-1);
                end
                C = T(1:n);
            end
        elseif class ==2
            U = string([1]);
            U = sym(U);
            U = [U 2*x];
            if n <=2
                C = U(1:n);
            else
                for i = 2:n
                    U(i+1) = 2*x*U(i)-U(i-1);
                end
                C = U(1:n);
            end
        end
    end
%%埃爾米特多項式
    function H = Hermite(N)
        x = sym('x');
        for i = 1:N
            He(i) = (-1)^N*exp(x^2)*diff(exp(-x^2),(i-1));
        end
        H = simplify(He);
    end
%%拉蓋爾多項式
    function La = Laguerre(N)
        x = sym('x');
        for i = 1:N
            Lag(i) = exp(x)*diff(x^(i-1)*exp(-x),(i-1));
        end
        La = simplify(Lag);
    end
%%階乘函數
    function F = factorial(n)
        if n == 0
            F = 1;
        else
            F = factorial(n-1)*n;
        end
    end
end