題目。
我對官方題解的理解。
斷言：Young 圖能被多米諾骨牌填滿的充要條件是：將 Young 圖棋盤染色后，黑白格子的數量相等。
顯然，此條件是必要的，下面證明它也是充分的。
我們用每一列的高度來表示一個 Young 圖。
下面敘述一種用多米諾骨牌填充 Young 圖的方法。
為了方便描述，把最右側的那一列稱為第一列，第一列左邊的那一列稱為第二列，以此類推。
下述方法保證：若 Young 圖里的某個格子 $x$ 被多米諾骨牌所覆蓋，則 $x$ 所在列中在 $x$ 上方的所有格子也被多米諾骨牌覆蓋了。
顯然，滿足這個條件的填充方法總是存在的。下文中，我們把被多米諾骨牌覆蓋了的格子看做是被刪除了。
從右往左看 Young 圖的每一列。
-
若第一列的高度是偶數，則把它刪除。例子：5 4 3 2 2 變成 5 4 3。若第一列的高度是奇數，則把這一列除了最底下的那一塊之外的部分刪除。例子：5 4 3 變成 5 4 1
-
此時第1列高度是1，若第2列高度是奇數，則一定可以把這兩列都填滿並刪除，回到第1步。例子：5 3 1 變成 5。若第2列的高度是偶數，則把第2列刪到只剩下最底下的兩格，轉第3步。例子：5 4 1 變成 5 2 1。
-
若第三列的高度和第二列的高度奇偶性相同，先把它的高度降為和第二列相同，再把第二列和第三列的高度都降為1，再把第一列和第二列刪除。轉第2步。
-
.....
按上述方法，最后 Young 圖要么被刪空，要么變成形如 $k, k - 1, \dots, 2, 1$，而這樣的 Young 圖中黑白格子的數量一定不相等。也就是說如果最初的 Young 圖經棋盤染色后黑白格子數量相等，最后一定會被刪空，換言之，一定能被多米諾骨牌填滿。至此就證明了斷言。
設輸入的 Young 圖經棋盤染色后有 $B$ 個黑格子和 $W$ 個白格子。顯然，能填入的多米諾骨牌數量不超過 $\min(B, W)$。可以證明，一定能填入 $\min(B, W)$ 個多米諾骨牌。
下面證明：形如 $k, k - 1, \dots, 2, 1$ 的 Young 圖滿足條件。
0
-----------
0
1 0
-----------
0
1 0
0 1 0
-----------
上圖中 0 代表白色格子，1代表黑色格子。不失一般性，假設左上角的格子染成白色，這時白格子比黑格子多。對 $k$ 用歸納法。設 $k = n$ 時結論成立，則 $k = n + 1$ 時比 $k = n$ 時多出了最下層的一排格子，這一層格子是黑白相間的且最右側的格子是白的，因此這一層里的每個黑格子都可以找到一個相鄰的白格子與之配對。