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復數的英文是complex number，直譯是復雜的數。最早接觸復數大概是在高中時期，只知道復數由實部和虛部組成，虛部用i表示，i2=-1。天啊，無限不循環的無理數勉強可以接受，這個i到底是個什么東西？相比實數而言，這個不現實的虛數為什么虛？它長成什么樣？
虛數的誕生
當年老師並沒有拿出某個東西說：“看，這就是虛數！”當然拿不出來，我們很難形象化地表現這些不現實的虛數。
16世紀意大利米蘭數學家卡爾達諾（Jerome Cardan，1501—1576）曾經討論過一個問題：是否可能把10分成兩個數，使它們通過各種數學運算得到40（我真是很難理解數學家的大腦，究竟是基於什么原因讓他們思考這個問題？為了是打賭嗎？）。卡爾達諾把答案寫成：
盡管卡爾達諾認為-15的平方根是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是這么寫了，他也因此成為第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家。真正給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發表）中使“虛的數”與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來。
在求解x2=2的過程中，人們定義了無理數√2，這個從有理數擴展的來的概念讓我們能夠在更廣的范圍內進行代數運算。同樣，x2=-1也提出了一個類似的問題。不過由於沒有任何實數的平方等於-1，所以早期的數學家都認為這個方程是沒有意義的，把它和除數不能等於0一樣處理。隨着時間的推移，這種方程出現的越來越多，人們逐漸意識到，讓這類方能夠繼續計算下去是有意義的，於是定義了一種超自然的符號解，對於實數(Real number)來說，這個數是虛擬的，是想象中的，它就是虛數（imaginary number）i。
有了虛數，就可以對一個負數開平方，這使得“把一個數開根號再平方”可以運用在更大的范圍上，卡爾達諾把答案也就成立了：
復數
在數學上，虛數和實數有着同等地位，二者合在一起成為復數。一個復數由實部和虛部組成，用z=a+bi表示，其中a,b是任意實數。如果一個復數只有虛數部分，則稱這個復數是純虛數。很多時候復數和虛數會互相混用，有很多資料把z=a+bi (a≠0)叫做虛數。如果較真一點，a+bi是復數，a是復數的實部，b是復數的虛部，i是虛數。
實數中的交換律、結合律、分配律可以很自然地擴展到復數的加法和乘法上，於是一種符合情理的計算方式被定義出來了：
上面的一切還較為自然，但是面對除法時，問題出現了：兩個純虛數的除法可以很容易計算，但是兩個同時存在實部和虛部的復數又怎么計算除法呢？接着計算的辦法就是繼續定義新的概念。
共軛復數
先解釋一下共軛復數(conjugate complex number）。“軛”的本意是兩頭牛背上的架子，”軛“使兩頭牛同步行走。共軛是指按一定的規律相配的一對東西，一個架子上的兩頭牛互為共軛牛，來個共軛看看：
兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數。當虛部不為零時，它的共軛復數就是實部相等，虛部相反；如果虛部為零，其共軛復數就是自身。復數z的共軛復數用z上面加一橫表示。
這個奇怪的共軛復數來自復平面，有很多非常好的性質（在介紹復平面時會再次討論），其中一個性質是，互為共軛的兩個復數的乘積是實數：
是不是跟“負負得正”有點像（這里是”復復得實“）？
復數的除法
有了共軛復數，就可以定義兩個復數的除法運算規則：將分子和分母同時乘以分母的共軛復數。
乘法和除法互為逆運算，復數也一樣：
復數的大小
給出兩個實數，我們總是能比較它們的大小，然而對於復數來說，比較大小並沒有想象的那么簡單，事實上，復數無法進行除了相等外的大小比較。
比較關系是和加法或乘法相容的，比如有3個實數a,b,c，如果a > b，一定有a+c > b+c；如果c >=0，一定有ac > bc。可是到了復數這里完全不是這么回事，以虛數 i 為例，我們只知道它的平方等於-1，但是這玩意到底和0有什么關系？如果定義i > 0，好了，兩個大於0的數相乘應該還是大於0，但 i2 卻等於-1；如果定義i < 0，負負得正，i2卻偏偏不得正；如果定義 i = 0，那要它何用，直接用0不就好了，干嘛還要定義這玩意？既然虛數比較不了大小，那么包含虛部的復數也一樣比較不了大小：一個實數加上一個不知道誰大誰小的虛部，天知道得出的結果究竟是比原來大還是比原來小！
現在思路切換。
(1,1)和(2,2)是平面上的兩個向量，我們知道向量是表示大小和方向的量，但從來沒寫過(1, 1) < (2, 2)，向量的模才有大小：
這似乎在告訴我們，超過一維的東西沒法直接比較大小，想要比較大小的話，必須通過某種方式轉換成一維。你可能會產生疑問了，兩個平面幾何圖形我一眼就能看出誰大誰小，怎么說二維的東西不能比較呢？沒錯，很多時候確實能夠一眼看出來誰大誰小，確切地說是看出面積誰大誰小，A = <a1, a2>，B = <b1, b2>，A、B圍成的面積咋算？
這是叉積對吧？等於一個行列式對吧？行列式最終能算出一個數值對吧？這個數值是一維的對吧？
空間圖形也一樣，我們可以度量以三個向量為臨邊的平行六面體的體積，最終還是能算出一個數值，A = <a1, a2, a3>，B = <b1, b2, b3>，C = <c1, c2, c3>：
n維空間也一樣，我們可以度量n維圖形在n維空間中的n維體積。
回到復數問題上，復數之所以沒法比較大小，是因為復數跟實數本來就不在一個維度，復數本身就是一個二維的數。
復平面
笛卡爾發明了坐標系，從此之后讓代數和幾何聯系在一起。既然復數是一個二維的數，我們就可以考慮用一個平面來表示它，這個特殊的平面就是復平面。在復平面中，z=a+bi 對應的坐標為(a,b) 。其中a表示的是復平面內的橫坐標，在x軸（實軸）上；b表示的是復平面內的縱坐標，在y軸（虛軸）上；y軸上有且僅有的一個實點是原點。
復數的模
平面向量有模長，復數是二維的，同樣可以定義模長。對於z=a+bi來說，它的模長是：
這跟向量沒啥區別，幾何意義就是復平面上點到原點的距離：
再看共軛復數
前面說過，a+bi 的共軛復數是a-bi，現在把共軛復數放到復平面內：
還真像一根棍子上的兩頭牛。
模是標量，兩個互為共軛的數的模相等，兩個共軛數相乘的結果是其中一個數的模的平方：
乘法的意義
我們很容易在復平面上定義復數的加法和數乘，它們都和向量類似。如果復平面上有兩個復數(x1, y1)和(x2, y2)，二者相加的結果是(x1 + x2, y1 + y2)。對於復數的乘法，我們先給出代數結果：
其實這個公式的來源就是兩個復數的乘法運算：
它的好處在於把所有關於 i 的信息都去掉了，或者說把 i 當成了普通的實數，確切地說是二維的實數：
i2最終變成了(-1,0)，在復平面上是一個點，該點的實軸坐標是-1，虛軸坐標是0，因此我們可以說 i=(0,1), -1=(-1, 0)。這個規則同樣適應於實數：
現在問題是，如何在復平面表示兩個復數的乘法？
先簡單一點，用一個復數乘以一個實數：
它的幾何意義是把原復數沿着原來的方向延伸2倍：
同理，如果乘以-2，相當於把原復數沿着原來的相反方向延伸2倍，或者說繞源點逆時針旋轉180°：
接下來用一個復數乘以一個純虛數：
這是把(2, 2i)沿着原點逆時針旋轉90°，然后再拉長2倍。
旋轉告訴我們，用極坐標表示復數也許更為簡單。在極坐標下，用模長和角度表示一個點：
再看兩個復數的乘法：
現在把結果轉換成極坐標，這里利用一點三角函數的和差角公式：
這就又回到了極坐標和直角坐標的轉換公式，因此，兩個復數相乘是z1z2=(X,Y)，用極坐標表示的話：
上式翻譯成人話是說，在極坐標下，一個復數乘以另一個復數(r, θ)，那么原復數的模長將拉伸r倍（r可以小於1，也可以是0或負值），並且逆時針旋轉θ（θ可以是0也可以是負值，如果是負值的話就變成了順時針旋轉θ），這就是兩個復數相乘的幾何意義。
現在來看一個乘法：
左圖是極坐標下兩個原始的復數，右圖表示z1先拉伸2倍，再逆時針旋轉π/6，得到z1z2。注意極坐標的兩個箭頭代表的是方向，而不是實部或虛部。
復平面使得復數變得簡單，用笛卡爾坐標系表示復數加法的意義，用極坐標系表示復數乘法的意義，這為我們進一步探索復數打下了基礎。
好吧，現在知道了復平面，這有什么用呢？且看下回分解。
作者：我是8位的
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