例12 Eratosthenes篩法求質數
問題描述
Eratosthenes篩法的基本思想是：把某范圍內的自然數從小到大依次排列好。宣布1不是質數，把它去掉；然后從余下的數中取出最小的數，宣布它為質數，並去掉它的倍數。在第1步之后，得到質數2，篩中只包含奇數；第2步之后，得到質數3，一直做下去，當篩中為空時結束。
用Eratosthenes篩法求給定區間內的所有質數。
輸入格式
兩個整數a和b，其中1≤a≤b≤10000
輸出格式
輸出給定范圍[a,b]間的所有質數，輸出時每個質數占6列，每行輸出10個質數。
輸入樣例
100 200
輸出樣例
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149
151 157 163 167 173 179 181 191 193 197
199
（1）編程思路。
下面采用自頂向下逐步求精的方法解決這個問題。
1）先寫出程序的總體框架
初始化，將所有的數都放在篩子中；
k=2；
while(k<=N)
{
用k將篩子中的數2*k、3*k、4*k …，一一篩去；
從當前下標k的下一個開始找到下一個仍在篩子中的數，並賦值給k；
}
從2開始，將所有留在篩子中的數（即為質數）打印出來；
2）篩子的構造
為了表示一個篩子，並將給定范圍N以內的數放入篩子中，可以定義一個一維數組
int prime[N+1]；
其中，元素prime[i]==1表示整數i在篩子中；prime[i]==0表示整數i不在篩子中。
因此，初始化數組prime使所有的數都在篩子中，即使prime[2]~ prime[N]的值全部等於1。程序描述為：
for (k=2; k<=N;k++)
prime[k]=1;
3）用k將篩子中的數2*k、3*k、4*k …，一一篩去
n=2;
while(n*k<N)
{
prime[n*k]=0;
n++;
}
4）從當前下標k的下一個開始找到下一個仍在篩子中的數，並賦值給k
k++;
while(prime[k]==0)
k++;
5）從a開始到b為止，將仍然在篩子中的數打印出來
for (k=a; k<=b; k++)
{
if(prime[k]) printf(“%d “,k);
}
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 100000
int main()
{
int prime[N+1]={0,0},t,k,cnt,a,b;
for (k=2; k<=N;k++)
prime[k]=1;
k=2;
while(k<=N)
{
t=2;
while(t*k<=N)
{
prime[t*k]=0;
t++;
}
k++;
while(k<=N && prime[k]==0)
k++;
}
scanf("%d%d",&a,&b);
cnt=0;
for (k=a;k<=b;k++)
{
if (prime[k]==1)
{
cnt++;
printf("%6d",k);
if (cnt%10==0) printf("\n");
}
}
printf("\n");
return 0;
}
習題12
12-1 質因子分解
本題選自洛谷題庫 （https://www.luogu.org/problem/P2043）
題目描述
對N!進行質因子分解。
輸入格式
輸入數據僅有一行包含一個正整數N，N<=10000。
輸出格式
輸出數據包含若干行，每行兩個正整數p,a，中間用一個空格隔開。表示N!包含a個質因子p,要求按p的值從小到大輸出。
輸入樣例
10
輸出樣例
2 8
3 4
5 2
7 1
說明/提示
10!=3628800=(2^8)*(3^4)*(5^2)*7
（1）編程思路。
先看如何求n！中質因子k的個數。以求10！質因子2的個數為例說明。
設先將1~10共10個數排成一行得到序列1。且設保存2的因子個數的變量cnt的初值為0。
序列1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
在序列1中，只有2、4、…、10 共 10/2=5個數中至少含有一個2的因子。故cnt=cnt+n/2=0+5=5。
將序列1中的每個數除以2，只保留得到的整數，可排成序列2。（對應操作為n=n/2）
序列2： 1 2 3 4 5
對應序列1的數為：2 4 6 8 10
在序列2中，有5個數，只有5/2=2個數含有因子2，即原序列中有2個數（4,8）至少含有兩個因子2。 cnt=cnt+n/2=5+5/2=7。
再將序列2中的每個數除以2，只保留得到的整數，可排成序列3。（對應操作為n=n/2）
序列3 1 2
對應序列1的數為：4 8
在序列3中，有2個數，只有2/2=1個數含有因子2，即原序列中有1個數（8）至少含有三個因子2。 cnt=cnt+n/2=7+2/2=8。
再將序列3中的每個數除以2，只保留得到的整數，可排成序列4。（對應操作為n=n/2）
此時，序列4中不再有數能被2整除，即原序列中沒有數含有4個2的因子。
cnt=cnt+n/2=8+1/5=8。
至此，求得10！含有質因子2的個數為8。
按上述過程，將求n！中質因子k的個數寫成一個簡單的循環即可。
cnt=0;
while (n!=0)
{
cnt+=n/k;
n/=k;
}
定義數組int prime[1250]保存所有小於10000的質數，如prime[0]=2，prime[1]=3， prime[2]=5，…。用篩法求出各質數並保存在prime數組中。
定義數組int num[1250]，其中num[i]保存n!中質因子prime[i]的個數，num數組的全部元素的初始值置為0。
程序中按前面介紹的求n！中質因子k的個數的方法，用循環依次求取小於或等於n的質數prime[i]的個數num[i]。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 10000
int main()
{
int t,k,i,n,cnt;
int flag[N+1]={0,0};
int prime[1250],num[1250]={0};
for (k=2; k<=N;k++)
flag[k]=1;
k=2; cnt=0;
while(k<=N)
{
t=2; prime[cnt++]=k;
while(t*k<=N)
{
flag[t*k]=0;
t++;
}
k++;
while(k<=N && flag[k]==0)
k++;
}
scanf("%d",&n);
for (i=0;i<cnt;i++)
{
if (prime[i]>n) break;
t=n;
while (t!=0)
{
num[i]+=t/prime[i];
t/=prime[i];
}
}
for (k=0;k<i;k++)
printf("%d %d\n",prime[k],num[k]);
return 0;
}
12-2 Prime Gap
本題選自北大POJ題庫 （http://poj.org/problem?id=3518）
Description
The sequence of n − 1 consecutive composite numbers (positive integers that are not prime and not equal to 1) lying between two successive prime numbers p and p + n is called a prime gap of length n. For example, ‹24, 25, 26, 27, 28› between 23 and 29 is a prime gap of length 6.
Your mission is to write a program to calculate, for a given positive integer k, the length of the prime gap that contains k. For convenience, the length is considered 0 in case no prime gap contains k.
Input
The input is a sequence of lines each of which contains a single positive integer. Each positive integer is greater than 1 and less than or equal to the 100000th prime number, which is 1299709. The end of the input is indicated by a line containing a single zero.
Output
The output should be composed of lines each of which contains a single non-negative integer. It is the length of the prime gap that contains the corresponding positive integer in the input if it is a composite number, or 0 otherwise. No other characters should occur in the output.
Sample Input
10
11
27
2
492170
0
Sample Output
4
0
6
0
114
（1）編程思路。
題目的意思是：兩個連續質數a和b之間的區間稱為非質數區間。求n所在非質數區間的長度。例如，23和29是兩個連續的質數，23和29之間的區間就是一個非質數區間，這個區間的長度為6，整數27在這個區間中，因此27所在非質數區間的長度為6。
定義數組int prime[maxn]，元素prime[i]的值為0表示整數i是質數（在篩子中，沒有被篩掉），prime[i]的值為1表示整數i是不是質數（不在篩子中，已經被篩掉了）。
初始時prime的數組元素初值全為0，表示給定范圍的每個整數都在篩子中。用篩法將所有的非質數全篩掉。
為求取n所在非質數區間的長度。若n本身是一個質數，則其所在非質數區間的長度記為0。
若n不是一個質數，可用循環 for (left=n-1; prime[left]==1; left--);求得比n小的最大質數left；用循環for (right=n+1;prime[right]==1; right++);求得比n大的最小質數right。則n一定在連續質數left和right之間的非質數區間，區間長度為right-left。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define maxn 1399710
int prime[maxn]={0};
int main()
{
int i,j,n,left,right;
for(i=2;i<maxn;i++)
{
if(prime[i]==0)
{
for (j=i*2;j<maxn;j+=i)
prime[j]=1;
}
}
while (scanf("%d",&n) && n!=0)
{
if(prime[n]==0)
{
printf("0\n");
continue;
}
else
{
for (left=n-1; prime[left]==1; left--);
for (right=n+1;prime[right]==1; right++);
printf("%d\n",right-left);
}
}
return 0;
}
12-3 Largest prime factor
本題選自杭州電子科技大學OJ題庫 （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2136）
Problem Description
Everybody knows any number can be combined by the prime number.
Now, your task is telling me what position of the largest prime factor.
The position of prime 2 is 1, prime 3 is 2, and prime 5 is 3, etc.
Specially, LPF(1) = 0.
Input
Each line will contain one integer n(0 < n < 1000000).
Output
Output the LPF(n).
Sample Input
1
2
3
4
5
Sample Output
0
1
2
1
3
（1）編程思路。
本題題意是：求一個整數n的最大質因子在質數表中排第幾。比如，9的最大質因子是3，3在質數表中排第2；5的最大質因子為5，在質數表中排第3。
定義數組int rank[N]，元素prime[i]的值表示整數i的最大質因子在質數表中排第幾。
初始時rank的數組元素初值全為0，表示尚未確定每個數的最大質因子的排位值。同時，借助篩法的思想。rank的數組元素初值全為0，表示給定范圍（1~N）的每個整數都在篩子中。
在前面介紹的篩法中，我們只是簡單置數組元素值為0或為1，表示在或不在篩子中，本題中rank數組元素值除了表示在或不在篩子中的含義外，非0的元素值還表示最大質因子在質數表中的排位值。為此，修改的篩法執行過程描述如下：
1）初始時，令i=2，cnt=1，表示最小的質數為2，其排位值為1。
2）2<=N，rank[2]=0，cnt=1表示2是排位為1的質數。同時修改rank[2]、rank[4]、rank[6]、rank[8]、rank[10]……等元素的值為1（當前cnt=1），這個修改既表示將2的倍數的數從篩子中篩掉，同時表示這些2的倍數的數當前確定的最大質因子的排位號為1。 cnt++表示下一個質數的排位值為2。
3）i++，i=3，此時rank[3]=0表示3在篩子中，3是質數，cnt=2，表示3是排位值為2的質數。同時修改rank[3]、rank[6]、rank[9]、rank[12]、rank[15]……等元素的值為2（當前cnt=2），這個修改既表示將3的倍數的數從篩子中篩掉，同時表示這些3的倍數的數當前能確定的最大質因子的排位號為2。 cnt++表示下一個質數的排位值為3。
4）i++，i=4，rank[4]=1不為0，表示4不在篩子中，4不是質數，能確定它的最大質因子的排位值為1。不處理，直接跳過。
5）i++，i=5，此時rank[5]=0表示5在篩子中，5是質數，cnt=3，表示5是排位值為3的質數。同時修改rank[5]、rank[10]、rank[15]、rank[20]、rank[25]……等元素的值為3（當前cnt=3），這個修改既表示將5的倍數的數從篩子中篩掉，同時表示這些5的倍數的數當前能確定的最大質因子的排位號為3。 cnt++表示下一個質數的排位值為4。
……
重復上面的過程，直到i>N。此時1~N范圍內所有整數的最大質因子在質數表中的排位值都確定了，且保存在數組rank的相應元素中。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 1000000
int rank[N+1]={0};
int main()
{
int i,j,n,cnt=1;
for (i=2;i<=N;i++)
{
if(rank[i]!=0) continue;
for (j=i;j<=N;j+=i)
rank[j]=cnt;
cnt++;
}
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
printf("%d\n",rank[n]);
return 0;
}