數據結構與算法（周測4-樹與並查集）

判斷題

1.某二叉樹的前序和中序遍歷序列正好一樣，則該二叉樹中的任何結點一定都無左孩子。

     T      F

2.已知一棵二叉樹的先序遍歷結果是ABC,　則CAB不可能是中序遍歷結果。

     T      F

3.在一棵二叉搜索樹上查找63，序列39、101、25、80、70、59、63是一種可能的查找時的結點值比較序列。

     T      F

一個比較實用的判斷方法是如果序列前一個元素比當前元素小，那么更新區間的最大值為當前元素；如果序列的前一個元素比當前元素大，那么更新區間的最小值為當前元素。之后的每一個元素必須在這個區間內。根據這個規則，當運行到70的時候區間已經是(70,80)，而下一個元素是59。

4.將1、2、3、4、5、6順序插入初始為空的AVL樹中，當完成這6個元素的插入后，該AVL樹的先序遍歷結果是：4、2、1、3、5、6。

     T      F

之前頁面的第2題

5.一棵有124個結點的完全二叉樹，其葉結點個數是確定的。

     T      F

完全二叉樹完全可以確認

6.對N（≥2）個權值均不相同的字符構造哈夫曼樹，則樹中任一非葉結點的權值一定不小於下一層任一結點的權值。

     T      F

之前頁面的第1題

7.In a min-heap, all the keys along the path from the root to any leaf node must be in sorted (non-decreasing) order.

     T      F

最小堆從頂向下遞增。

8.To find 63 from a binary search tree, one possible searching sequence is {39, 101, 25, 80, 70, 59, 63}.

     T      F

同第3題。

9.存在一棵總共有2016個結點的二叉樹，其中有16個結點只有一個孩子。

     T      F

設N為結點個數，N_n為擁有n個孩子的結點數量，則有總結點個數：$\color{red}{N_{0}+N_{1}+N_{2}\times2+1}$ ，那么$\color{red}{(2000-N_{0})\times2+1=2000}$ ，N₀怎么看都不是整數，那么N₂也不用說了。

10.將一棵完全二叉樹存於數組中（根結點的下標為1）。則下標為23和24的兩個結點是兄弟。

     T      F

11.在有N個元素的最大堆中，隨機訪問任意鍵值的操作可以在O(logN)時間完成。

     T      F

堆的左右孩子沒有固定的順序，無法像平衡二叉樹那樣順着找下去。

12.對AVL樹中的任一結點，其左子樹的高度一定比其右子樹的高度要高。

     T      F

13.完全二叉樹中，若一個結點沒有左孩子，則它必是樹葉。

     T      F

14.完全二叉樹的存儲結構通常采用順序存儲結構。

     T      F

比如堆。

選擇題

1.在並查集問題中，已知集合元素0~8所以對應的父結點編號值分別是{ 1, -4, 1, 1, -3, 4, 4, 8, -2 }（注：−n表示樹根且對應集合大小為n），那么將元素6和8所在的集合合並（要求必須將小集合並到大集合）后，該集合對應的樹根和父結點編號值分別是多少？

     A.1和-6
     B.4和-5
     C.8和-5
     D.8和-6

6和8合並就是集合{4,5,6}、{8,9}合並，大並小，所以{8,9}並入{4,5,6}，根結點是4，計數為-5。

2.The array representation of a disjoint set containing numbers 0 to 8 is given by { 1, -4, 1, 1, -3, 4, 4, 8, -2 }. Then to union the two sets which contain 6 and 8 (with union-by-size), the index of the resulting root and the value stored at the root are:

     A.1 and -6
     B.4 and -5
     C.8 and -5
     D.8 and -6

同第2題。

3.The array representation of a disjoint set is given by { 4, 6, 5, 2, -3, -4, 3 }. If the elements are numbered from 1 to 7, the resulting array after invoking Union(Find(7),Find(1)) with union-by-size and path-compression is:

     A.{ 4, 6, 5, 2, 6, -7, 3 }
     B.{ 4, 6, 5, 2, -7, 5, 3 }
     C.{ 6, 6, 5, 6, -7, 5, 5 }
     D.{ 6, 6, 5, 6, 6, -7, 5 }

按大小合並，所以集合{5,3,7}並入集合{6,2,4,1}，6是跟結點，樹根大小為-7，又因為包含路徑壓縮，所以6成為原始集合元素2，4，1的直接父親，並成為新假入集合根5的直接父親，5也成為3和7的直接父親。

4.The array representation of the disjoint sets is given by {2, –4, 2, 3, -3, 5, 6, 9, -2}. Keep in mind that the elements are numbered from 1 to 9. After invoking Union(Find(4), Find(6)) with union-by-size, which elements will be changed in the resulting array?

     A.a. elements of index 2 and 5
     B.a. elements of index 2 and 6
     C.a. elements of index 4 and 5
     D.a. elements of index 4 and 6

類似與第一題。

5.In a disjoint set problem, given a set of m elements S = { 1, 2, 3, ..., m } and n ( 0<n<m ) distinct relations, the set S must have __ equivalence classes.

     A.at leatst m
     B.exactly n
     C.exactly m−n
     D.at least m−n

同一個集合的任意兩個元素都可以構成等價類，最少的情況是同一個集合的所有元素構成一個等價類，個數為m-n。

6.已知不相交集合用數組表示為{ 4, 6, 5, 2, -3, -4, 3 }。若集合元素從1到7編號，則調用Union(Find(7),Find(1))（按規模求並，並且帶路徑壓縮）后的結果數組為：

     A.{ 4, 6, 5, 2, 6, -7, 3 }
     B.{ 4, 6, 5, 2, -7, 5, 3 }
     C.{ 6, 6, 5, 6, -7, 5, 5 }
     D.{ 6, 6, 5, 6, 6, -7, 5 }

同第3題。

7.若並查集用樹表示，其中有n個結點，查找一個元素所屬集合的算法的時間復雜度為____。

     A.O(log ₂n)
     B.O(n)
     C.O(n ²)
     D.O(nlog ₂n)

我認為這道題答案應該是O(1)，這里A最小，只能選A了。

8.設樹T的度為4，其中度為1、2、3、4的結點個數分別為4、2、1、1。則T中有多少個葉子結點？

     A.4
     B.6
     C.8
     D.10

結點總數：$\color{red}{1\times4+2\times2+3\times1+4\times1+1=16}$ ，葉子結點數：$\color{red}{16-4-2-1-1}$

9.三叉樹中，度為1的結點有5個，度為2的結點3個，度為3的結點2個，問該樹含有幾個葉結點？

     A.8
     B.10
     C.12
     D.13

參考第8題。

10.按照二叉樹的定義，具有3個結點的二叉樹有幾種？

     A.3
     B.4
     C.5
     D.6

參考第8題。

11.二叉樹中第5層（根的層號為1）上的結點個數最多為：

     A.8
     B.15
     C.16
     D.32

注意結點在左子樹上和在右子樹上不同。

12.先序遍歷圖示二叉樹的結果為

     A.A，B，C，D，H，E，I，F，G
     B.A，B，D，H，I，E，C，F，G
     C.H，D，I，B，E，A，F，C，G
     D.H，I，D，B，E，F，G，A，C

13.AVL樹是一種平衡的二叉搜索樹，樹中任一結點具有下列哪一特性：

     A.左、右子樹的高度均相同
     B.左、右子樹高度差的絕對值不超過1
     C.左子樹的高度均大於右子樹的高度
     D.左子樹的高度均小於右子樹的高度

14.已知關鍵字序列（5，8，12，19，28，20，15，22）是最小堆（小根堆），插入關鍵字3，調整后得到的最小堆是：

     A.3，5，12，8，28，20，15，22，19
     B.3，5，12，19，20，15，22，8，28
     C.3，8，12，5，20，15，22，28，19
     D.3，12，5，8，28，20，15，22，19

直接上濾。

15.由分別帶權為9、2、5、7的四個葉子結點構成一棵哈夫曼樹，該樹的帶權路徑長度為：

     A.23
     B.37
     C.44
     D.46

之前頁面的第2題

16.將{5, 2, 7, 3, 4, 1, 6}依次插入初始為空的二叉搜索樹。則該樹的后序遍歷結果是：

     A.1, 2, 3, 4, 6, 7, 5
     B.1, 4, 2, 6, 3, 7, 5
     C.1, 4, 3, 2, 6, 7, 5
     D.5, 4, 3, 7, 6, 2, 1


17.在下述結論中，正確的是：
① 只有2個結點的樹的度為1；
② 二叉樹的度為2；
③ 二叉樹的左右子樹可任意交換；
④ 在最大堆（大頂堆）中，從根到任意其它結點的路徑上的鍵值一定是按非遞增有序排列的。

     A.①④
     B.②④
     C.①②③
     D.②③④

二叉樹的度小於等於2，因為二叉樹的定義要求二叉樹中任意結點的度數小於等於2；堆就不允許交換

18.若二叉搜索樹是有N個結點的完全二叉樹，則不正確的說法是：

     A.所有結點的平均查找效率是O(logN)
     B.最小值一定在葉結點上
     C.最大值一定在葉結點上
     D.中位值結點在根結點或根的左子樹上

完全二叉樹的最小值一定在葉節點上，是因為最左邊的葉結點始終會擁有，但最大值就不好說了。

19.將 { 10, 12, 1, 14, 6, 5, 8, 15, 3, 9, 7 } 逐個按順序插入到初始為空的最小堆中，然后連續執行兩次刪除最小元素操作（DeleteMin），再插入4，16，此后堆頂的元素是什么？

     A.4
     B.5
     C.7
     D.9

這道題甚至不用建堆模擬，刪掉最小的兩個，再尋找加入了兩個新元素后的最小值。

20.Insert {5, 2, 7, 3, 4, 1, 6} one by one into an initially empty min-heap. The preorder traversal sequence of the resulting tree is:

     A.1, 3, 2, 5, 4, 7, 6
     B.1, 2, 3, 4, 5, 7, 6
     C.1, 2, 5, 3, 4, 7, 6
     D.1, 3, 5, 4, 2, 7, 6


程序填空題

1.本題要求給出下列並查集操作執行后，集合數組內存儲的結果。

union( find(4), find(6) )
union( find(2), find(7) )
union( find(0), find(4) )
union( find(7), find(6) )
union( find(7), find(1) )

注意：這里假設按規模求並（若兩集合規模相等，則把第1個集合的根結點作為結果的根結點），並且用帶路徑壓縮的查找。對所有的0≤i≤7，S[i]被初始化為−1。

i	0	1	2	3	4	5	6	7
S[i]	4			-1		-1	4

2.請填空完成下列代碼，功能是實現並查集中的“查”，並且帶路徑壓縮。

SetType Find ( ElementType X, DisjSet S )
{
    ElementType root, trail, lead;

    for ( root = X; S[root] > 0; ) ;
    for ( trail = X; trail != root; trail = lead ) {
        lead = S[trail] ;
       ;
    }
    return root;
}