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一、常見錯誤
代碼細節
- 當兩個特別大的數相乘后取模時，要使用快速乘。
- 注意：使用long long時，要檢查傳參是否傳int。
- 注意：不要3數連乘 不要int×int 不要忘記負數 不要忘模 （long long范圍）。
- 數組大小，乘2，乘4等問題。
- 數組類型，連續定義有時會錯（如把int定義成bool）。
- 不要忘記初始化。
- 多測清空問題：每定義一個變量，數組，就要添加對應的清空代碼。
- 行，列一定要看清楚，不要寫混。
- 除法，逆元可能被卡（雖然模數是質數，但除數模完后，可能是0）。要盡量避免求逆元。對於上述情況，可以定義一個結構體維護，額外記錄下0的個數。
- 不能直接把字符串（char*）作為stl容器的類型，可以轉換為string或手寫比較函數，否則會錯。
其它
2-SAT:a->b即!b->!a 兩條邊都要連。
splay,lct注意事項：
旋轉時fa的連接。
旋轉時新根的fa。
旋轉時舊根的fa的兒子要賦值為新根。
維護標記：
旋轉后，2次上傳 splay前，下放標記 access更換重兒子時，上傳 cut后，上傳（也許）
行列式，高斯消元等的乘法值要預處理出來，否則會錯，就是
int t=1ll*sz[j][i]*ksm(sz[i][i],md-2)%md;線段樹合並，主席樹的空間要略大於$O(nlogn)$。
線段樹合並要特判葉子節點。
a/b 向上取整 (a+b-1)/b 要特判負數。
注意輸出-0.00的問題。
使用標記永久化，上傳時要注意考慮標記。
主席樹在新建節點時要把原來的復制全。
點在多邊形內部判定，需要考慮點在邊界上的情況。
在樹dfs時，如果需要的臨時變量是公用的，那么需要先進行所有子樹的dfs，防止正在使用的這個變量被子樹破壞（通常是樹形背包）。
二、一些技巧
一、動態規划
DP設計
互質數的選擇，當質因數較大時采用分組背包，較小時狀壓記錄，以平方根為界（luogu壽司晚宴）。
對於狀態轉移有環的動態規划，使用如下方式求解：
若轉移里沒有max/min，只有加減乘除運算，可以建立方程組，通過高斯消元在O(n^3)得出解。
若轉移只是對一些元素取max/min（或第k大/小值），再加/減一個值，可以建圖，使用dij或spfa求解。
若u依賴v，且若v能更新u，則dp[u]>=dp[v]，且求的是min（例如dp(u)=min(S(u)+∑dp[v],K(u))）。
每次：
1：把值最小的點標記 2：if 一個點u依賴的所有v都被標記 計算dp(u)，並標記u， 3：回到1 直到所有點被標記。 就結束。
若2，3都不滿足，可以使用如下方法： 先把每個點都入隊，每次從隊首取出u，並計算dp(u)，若dp(u)發生更新，則把依賴u的v都加入隊列（前提是v不在隊列中）。 這個方法很像spfa，但時間復雜度最壞為O(nm)。
例題：模擬賽tiger，luogu 騎士游戲
每次找一段刪除，刪除后自動合並的DP的一種解決方法：
先設dp(i,j)表示考慮i~j的結果 然后，考慮i這個點的情況：i一定是和之后的幾段一起合並后刪除 例如：i j -----*****--@@-&&&&&-------- 而中間的幾段一定不能一起刪除
因此，像 ------####------#####-------
這種情況是不可能的 所以，中間的段就是單獨的子問題了。 還要加一組狀態k，表示之前的連續段的信息。
對於樹形背包，通常，我們有兩種方法：
基於dfs合並，可以知道每個點的確切情況（比如子樹中選了多少），但是，復雜度較高（因為合並背包很慢）。 在dfs序上DP，復雜度較低，但是，不能 知道每個點的確切情況（因為是在序列上）。
有字典序限制的DP（以大於為例）：
通常，我們有兩種方法： 1、記錄下當前是“放什么都大於（之前已經大於）”，還是“放大於的才大於”。 這個通常用於數位dp 但是，這個會使數有本質區別，難以處理。 2、確定一個前綴一模一樣，下一位大於，之后隨意。 這樣我們可以根據前綴算出當前狀態，並且之后的dp不受影響。 但是，有時這樣復雜度較高，並且，如果有多個有字典序限制，這個方法就不適用了。
若在樹上進行類似“隨機游走的”DP，可以不用高斯消元：
1、設$f_u$=\(k_u*f_{fa}+b_u\)。 2、由於u的計算僅依賴u的父親和兒子，把兒子用“1”的方法表示，兒子的父親是本身，這樣u就只依賴u和父親。 3、通過移項，使u僅依賴父親，進而表示為“1”中的形式。 4、最后，根節點的b就是答案。
有些容斥原理可以DP，在奇偶性改變時，取相反數即可。
關於連通圖計數的DP，可以設$dp_i$表示$i$個點連通的方案數，轉移時先算出方案總數，再減去不連通的。不連通的可以枚舉編號最小的點所在連通塊的點數$j$，用$dp_i$減去$dp_j*x$，其中$x$是剩余的$i-j$個點的方案總數。當圖相對復雜（比如完全二分圖）時，可以增加一維狀態，同時也要多一層枚舉。
樹形的有依賴dp也可以分兩次dp，分別考慮向上和向下傳遞（即換根dp）。
dp套dp：通過外層dp，算出使某個問題的解為給定值的方案數等，其中這個問題需要用內層dp解決。 按照內層dp所需要的輸入順序進行外層dp，將內層dp轉移所需要的依賴（可以觀察填表的過程）通過狀壓記錄成狀態（可以預處理出這些狀態的轉移自動機），進行dp。
數位DP可以統計L到R之間的$f(x)$之和。要求f只和x的數位有關。若f本身就是遞推式，可以按照f的遞推順序進行數位DP，並設F表示在限制下f之和，並把f的轉移式子改成F的。
數位DP若需要記錄進位信息，可以從低位到高位進行dp。例題
有時，可以用兩種方式表達計數DP，根據這兩種表示法相等的，來列方程求解。
秩為x的矩陣計數可以DP，只要記錄當前的秩，轉移時考慮是否增加秩即可。
麻將題（橫三豎三的），可以dp，因為三個橫的就能變成三個豎的，因此橫的不會超過2個，可以壓進dp狀態。具體細節
區間DP通常有兩種轉移形式：從兩端刪除，或從中間分裂。
涉及到矩形計數，最大矩形等問題時，可以考慮懸線法，配合單調棧，枚舉一個數作為區間的最小值。
網格圖中的放置可以考慮插頭DP，就是記錄當前考慮的行上面每一列的信息。
記錄幾個變量的相等關系，可以使用最小表示法。
DP優化
- 對於有些DP，可以先設計出比較簡單的狀態后，去掉一些無用狀態，等價狀態，進行優化。（可以使用記憶化搜索）
- 帶權二分：若選擇dp等滿足凸性，可以用直線切割凸包，將選的代價修改，通過二分找到合適的位置。
- 在對DP進行卡常優化時，可以試試改成記憶化搜索，有時能快很多。
- 如果轉移時需要枚舉相交的區間，可以使用容斥，轉化為枚舉不相交的區間，這樣l和r就沒有聯系了，可以分開計算，從而減少一維。
- 決策單調性總結
- 對於一般的01背包，復雜度為$O(NM)$，但如果物品體積的范圍C不算大，可以按照C去依次計算，當考慮到體積為x的物品時，對於模x意義下相等的數，從小到大滿足決策單調性，使用分治，可以把復雜度降低至$O(NlogN+MClogM)$。
void dfs(int l,int r,int l2,int r2,int x,int s) { if(l>r)return; int m=(l+r)>>1,wz=0; for(int y=l2;y<=r2&&y<=m;y++) { if(m-y>=su[x].size()) continue; ll t=dp[x*y+s]+su[x][m-y]; if(t>jh[x*m+s]) jh[x*m+s]=t,wz=y; } dfs(l,m-1,l2,wz,x,s);dfs(m+1,r,wz,r2,x,s); } for(int i=1;i<=300;i++) { for(int s=0;s<i;s++) { int t=(k-s)/i; dfs(0,t,0,t,i,s); } for(int x=1;x<=k;x++) { dp[x]=jh[x]; jh[x]=0; } } - 在dp轉移時如果需要卷積，但是和他卷積的數組差分后容易維護（比如$dp(i)=\Sigma dp(i-j)*j$），可以不用NTT，直接用前綴和維護。
- 解決LIS問題，如果序列很長，但序列具有相似性，且值域不大，也可以設$dp(x,y)$表示以x結尾，長度為y的LIS，然后按順序枚舉x，滾動數組進行更新。
- 對於遞推，如果需要區間詢問（比如詢問區間內不同子序列數目），可以把轉移寫成矩陣，然后算出前綴積和逆矩陣的前綴積。注意乘法的順序
二、字符串
- AC自動機算法在匹配時，在fail樹上的鏈將都被匹配，所以經常與樹上算法聯合使用（luogu P3796，luogu P2336喵星球上的點名）。
- 后綴自動機跳fail的注意事項 (壓縮字符串)。
- 處理類似重復子串的問題，可以考慮枚舉長度L，然后每隔L放一個關鍵點，並計算相鄰的關鍵點的lcp，lcs等信息。
- 擴展后綴數組：在trie樹上構建，使用倍增，類似普通SA。
- 處理回文的問題時，可以枚舉回文中心。為了減少細節，有時可以在每個字符后面加入$#$。
- 回文自動機（PAM）
- 前后添加的哈希，可以從中間開始，維護左邊的后綴，右面的前綴的（從左到右的）哈希值。詢問子串時拼接即可。或者維護懶標記。
三、數學
數論等
$O(1)$快速乘代碼：
ll ksc(ll a,ll b) { return (a*b-(ll)((long double)a/md*b)*md+md)%md; }中國剩余定理，可以在計算時之算出前綴積（變算邊乘），復雜度可以從$O(n^2)$降到$O(n)$，在計算時調整下余數即可。如果需要高精維護，此法可以起到優化。
1到n中所有數的約數的約數個數和大概是$O(nlog^2n)$的。
帶變量x的組合數，可以把組合數拆開變成下降冪，用斯特林數+二項式定理表示出系數，從而轉化為關於x的多項式。
如果對實數的精度要求非常高，且運算不復雜，可以定義分數類解決。
BSGS算法在有多組詢問時，可以適當增加步長。
使用對數可以把冪變乘，把乘變加，把除變減。例如：\(y>\frac{k}{x^a}\)，可以變為$log(y)>log(k)-a*log(x)$。
在一個數列中，從某個位置開始的所有前綴的gcd，只有$logm$種，可以維護。
有時，可以對矩陣乘法進行改造，並且，通常改造后會滿足結合律。
同余不等式可以使用遞歸求解。
計數
遇到用若干個數相加組合成一個數的問題，可以考慮同余最短路（NOIP2017 小凱的疑惑，墨墨的等式）。
平方和問題：考慮平方的實際意義 (二維枚舉，二維dp)。帶組合數的，也可以用類似做法。
倍增合並（有時可以使用fft加速合並），有時能比矩陣快速冪少一個m。
矩陣乘法兩種形式：
- 數列遞推，每次生成一個。
- 高維遞推優化，每次推進一層。
枚舉，算貢獻（相當於交換求和符號）。
兩種容斥原理：交集，並集。（都要考慮到）
關於匹配的容斥：若有被多次匹配的，就有沒被匹配的，按照沒被匹配的進行容斥。
有些計數類的遞推（如：\(dp(i,j)=dp(i,j-1)+dp(i+1,j+1)\)），可以畫出轉移的圖后，（通過扭轉等）轉移為網格圖路徑計數問題。
網格圖有限制的路徑計數：
- 只有一個限制（如三角形，j<=i），可以容斥，不合法的可以將起點或終點進行對稱。
- 有兩個限制（如平行四邊形中），還是容斥，但要考慮反復經過分界線的情況。如：A，ABA，B，BAB等應減去。AB，BA，ABAB，BABA以及不進行對稱等應加上。
int ans=F(n,n+m); int a=0,b=0;A(a,b);B(a,b); ans=(ans+jisuan1(a,b))%md; a=0;b=0;B(a,b);A(a,b); ans=(ans+jisuan2(a,b))%md; a=0;b=0;B(a,b); ans=(ans-jisuan1(a,b)+md)%md; a=0;b=0;A(a,b); ans=(ans-jisuan2(a,b)+md)%md;網格圖中兩條不相交路徑計數，可以用總數減去相交的，相交的就是把交點后面的路徑交換。
多項式可以放進矩陣中，進行矩陣快速冪。
如果多項式的次數始終不是很多，也可以直接用點值法維護，在開始和結束時進行NTT即可。
FFT為了防止炸精，可以預處理出單位根，而不是直接乘。
for(int i=0;i<(h>>1);i++) ww[i]=cp(cos(2*pi*lx*i/h),sin(2*pi*lx*i/h));在FFT時若有$ik$之類的項，可以轉化為$\frac{k(k+1)}{2}+\frac{i(i-1)}{2}-\frac{(k-i)(k-i+1)}{2}$，便於FFT。
若要求$\Sigma A_{i,j}×x_×x$的最值，可以對於每一個x，只看關於它的項，發現是一個二次函數，那么讓這個x等於對稱軸即可。這樣會得出n條方程，高消即可。
四、博弈
- 只要兩個子游戲沒有關聯了，就可以用sg異或了。
- 翻硬幣游戲，只要選的硬幣是反轉的硬幣中編號最大的即可。計算時可以把直接翻轉理解為添加。
- 階梯nim：每次取走若干個放到上一堆中。只要記錄奇數位置的異或即可。這個游戲也可以放到樹上進行，方法相同。
五、樹上問題
在一棵樹上統計子樹信息，如果子樹信息不能快速合並，可以采用dsu on tree算法（luogu 雨天的尾巴，回文路徑計數）。
樹鏈合並（深度和減去相鄰lca深度），暴力樹鏈合並，access是均攤的。
基環樹方法：將環提出，變為森林，對每棵樹計算，然后合並。
樹統計（效率）：線段樹合並>啟發式合並=dsu on tree
m個節點的所有lca在O(m)級別，可以用虛樹。
給定樹上若干的點，求最小生成樹大小，可以按照dfs序排序后，用總深度減去相鄰的lca的深度，再減去所有的lca的深度。
建虛樹的步驟
int build(vector<int> &sz) { //1. 將點按照dfs序為關鍵字排序（此處已省略）。 for(int i=0;i<cs;i++) ve[cl[i]].clear(); cl[0]=st[0]=sz[0];cs=tp=1;//2. 清空數組，將第1個點壓到棧中。 for(int i=1;i<sz.size();i++) { int u=sz[i],lc=getlca(u,st[tp-1]);//3. 枚舉到下一個點u，計算u與棧頂點的最近公共祖先lca while(tp>=2&&de[lc]<=de[st[tp-2]])//4. 假設棧中棧頂下方的點為w（若棧中只有1個點就直跳過這一步），若w點的深度大於等於lca就把v向w連一條邊，並且彈掉v，重復此步，否則就到下一步。 { ve[st[tp-2]].push_back(st[tp-1]); tp-=1;lc=getlca(u,st[tp-1]); } if(lc!=st[tp-1])//5. 若lca不是當前的棧頂點，那么就把lca和棧頂點連邊 { ve[lc].push_back(st[tp-1]); st[tp-1]=cl[cs++]=lc;//並把棧頂變為lca } st[tp++]=cl[cs++]=u;//6. 最后把u壓入棧中 } for(int i=0;i+1<tp;i++)//7. 把棧頂v與棧頂下方的點為w連邊，並且把v彈掉，這么做直到棧里只有一個點 ve[st[i]].push_back(st[i+1]); return st[0];//這個點就是虛樹的根了 //為了方便，有時把1也加進去。 }長鏈剖分優化dp時，對於輕兒子直接爆算，重兒子繼承后將指針移位，進行+1或-1的調整。比如：
int& F(int u,int i) { if(i>=dep[u]) return z0; return f[lf[u]+i]; } if(son[u]!=-1) { dfs2(son[u],u); lg[u]=lg[son[u]]+1;//指針移動 lf[u]=lf[son[u]]-1;//指針移動 } F(u,0)=1; if(son[u]==-1)return; for(int i=fr[u];i!=-1;i=ne[i]) { if(v[i]==fu||v[i]==son[u]) continue; //進行轉移 }若要求一段路徑上的顏色數，可以考慮每種顏色的貢獻：若刪除所有這種顏色后，起點和終點不在一個連通塊中，則有貢獻。
樹的重心，也是樹上到其他點距離之和最小的點，滿足其子樹大小的最大值最小（不超過一半）。如果有兩個重心，則這兩個重心連着，且最大子樹正好為一半。
距離樹上某一個點的最遠點一定是（任意）直徑的一個端點。
合並兩棵樹的直徑時，新樹的直徑端點一定是這兩棵樹的直徑端點（共四個）中的兩個。可以分6種情況討論。
換根DP：先進行一次DFS，第二次DFS時維護父樹的信息。需要考慮如何快速計算一棵子樹挖去它的一個兒子后的DP值。
求樹上兩條路徑的交：兩條路徑(a,b)與(c,d)，四個點兩兩求LCA，得到$x1=lca(a,c),x2=lca(a,d),x3=lca(b,c),x4=lca(b,d)$。再從這四個點中取出深度最大的兩個點p1,p2 若p1≠p2，則交為p1到p2；若p1=p2，且p1的深度小於 ca(a,b)或小於lca(c,d)的深度，則無交點，否則只有一個交點p1。
要求出樹上所有路徑/連通塊的信息，可以使用點分治，這樣，每個路徑/連通塊都會考慮到，且只需$O(nlogn)$。
$m$條路徑一定可以覆蓋有$2m$個葉子的樹。
六、圖論
最小生成樹更新：只需判斷環的最值即可
圖上的所有MST，滿足：
1、對於任意權值的邊，所有最小生成樹中這個權值的邊的數量是一定的（根據克魯斯卡爾算法即可得出） 2、對於任意正確加邊方案，加完小於某權值的所有邊后圖的連通性是一樣的 3、對於相同權值的邊，任意順序都是可以的。
邊權只有0,1的圖的最短路可以用bfs求解。
在涉及到連通性，以及最長路等問題要考慮縮點（受歡迎的牛）。
歐拉回路構造：出棧時輸出+“當前弧優化”
三元環枚舉：按度數將邊定向，大->小，之后暴力枚舉即可。
2-SAT：若a能推出b，連a->b，連!b->!a。
之后，找scc，若一個變量的兩種取值位於同一scc，則無解。 若要構造解，則取兩種取值中scc編號較小的。
奇環的判斷使用黑白染色。
給一個圖，刪邊，問連通性，可以把非樹邊隨機一個權值，樹邊的權值為覆蓋它的非樹邊的權值的異或和。查詢時求出是否有異或和為0的子集即可。
點權圖的最短路，每個點只會被更新一次，這個性質可以用於某些優化。比如。
點權都為正數的最小(非零)權閉合子圖，可以tarjan，然后考慮出度為0的SCC。
七、網絡流
平面圖的最小割就是對偶圖的最短路（每個面看做一個點，相鄰的面看做邊）（luogu P2046海拔，luogu 狼抓兔子）。
網絡流的最小割模型：
- “文理分科”
- “選擇+2個具有貢獻”
在題目涉及到所有點對的最大流/最小割時，可以通過最小割樹，將其轉化為樹鏈上的最小值。
對於二分圖完美匹配的判定，可以考慮Hall定理。
問題：有n個點，選擇每個點有代價，m條關系（x,y,z）表示同時選擇x，y有z的收益。使收益-代價最小。
可以使用最小割求解。 首先，假設可以得到所有收益，不付出代價。並用最小割割掉不合法的。 S向每個點連邊，邊權為代價。每個點向T連邊，邊權為包括它的收益和的一半。 對於每條關系，$x$到$y$連邊權為$\frac{2}$的雙向邊。 可以把邊權先擴大到2倍。
最小割的數學定義，令$x$為一個01變量，我們假設若$x$最后在$S$集合，則$x=0$，否則$x=1$ 則邊$(S,x,a)$對答案的貢獻為$ax$ 則邊$(x,T,a)$對答案的貢獻為$a(1-x)$ 則邊$(x,y,a)$對答案的貢獻為$a(1-x)y$ 同理,如果我們能把貢獻寫為以上的形式,則可以用最小割求最優解 比如：有若干個01變量，每個變量取0/1有代價，還有若干關系（x,y,z）表示如果x取1，y取0，有z的代價。要求總代價最小。可以使用最小割。
有些網絡流問題，可以先u建出一個比較簡單的圖，然后把點，邊合並。
八、數據結構
有時，權值線段樹可以代替treap，能減小常數和代碼量（luogu 郁悶的出納員）。
有時，線段樹可以代替splay，方法時記錄每個位置是否有元素，查詢第k個值時線段樹上二分（NOIP2017 列隊）。
處理區間內出現過的數時，可以求出每個數的后繼，然后就變成了區間內大於某數的數（luogu HH的項鏈）。如果在樹上可以使用這種方法
某種在線-->離線：建立線段樹/樹狀數組，當某個區間都被加入時，離線處理，要求詢問區間分裂后能合並結果（其實這個叫做二進制分組）。
很多樹形數據結構都可以打標記（線段樹，splay，左偏樹）。
通常的樹持久化方法：每次新建一個根。避免持久化的技巧：版本樹（離線）。
在處理覆蓋問題時，可以用並查集維護每個點向后第一個未被覆蓋的位置（包括自身），比線段樹快，樹上覆蓋也可以。
笛卡爾樹：將RMQ變為lca，可以動態維護單調棧，解決RMQ之和等問題。
計算最大矩形時，除了單調棧，還可以遞歸，就是每次找到最小值，並遞歸它兩邊的區域。
處理異或的問題有一種常用技巧：就是把每個二進制位拆開單獨處理，這樣只有不同的才會有貢獻。可以將異或問題轉換為了是否為不同的數。
有時，我們的可持久化並查集只需要查詢歷史版本，不需要在歷史版本上修改（例如添加邊后，詢問之前的連通性）。
這時，我們有一個log的做法。 維護一個只按秩合並，不路徑壓縮的並查集。 對於每條邊，記錄它出現的時間，判斷連通性找根時，如果它到它的父節點的邊出現了，就找父節點的根，否則它就是根。 這樣，不路徑壓縮，邊的狀態只有兩種，存在/不存在，若存在就是唯一的。
線段樹合並，通常用在樹上。
需要滿足的條件：在合並時，對於一棵空樹，可以直接return或在另一棵樹上打標記。
看到RMQ之和的問題，可以考慮單調棧，或者每次找RMQ並分治兩邊。
只進行加的高精，有時可以使用線段樹維護：加法時，在線段樹上二分進行進位。比較時，使用哈希找lcp進行比較（要注意從高位到低位）。並且，可以可持久化。
二維線段樹通常使用動態開點，x樹的每個節點都保存它的y樹的根。
主席樹，二維線段樹等數據結構如果要區間修改，通常使用標記永久化（要求標記之間沒有順序要求）。
trie字典樹支持刪除，只要額外維護子樹大小即可。
標記永久化可以解決一些其它問題，比如：有一棵樹，單點修改，查詢一個點到根的路徑上與x異或的最大值。這個可以做到$O(nlog^2n)$時間，$O(nlogn)$空間。
啟發式合並，啟發式分裂，有時可以做到log。
九、幾何
- 平面分治，可以用於平面上的最近距離等問題（最近點對，最小周長三角形）。只要先把x排序，分治時把y排序，用雙指針掃描即可。
十、其它
算法設計
生成匹配的括號序列，只需模擬一個棧，記錄棧中的括號數即可（CF1015F，CF508E）。
求第k小值（k不大），可以采用A*算法，要保證每種狀態都能被擴展出，且擴展出的狀態非遞減（luogu 超級鋼琴，K短路，OVOO）。
離線處理以及強制在線：
- 離線處理可以把詢問排序，並按照順序求解。強制在線可以全部處理后可持久化（NOI2018 歸程）。
- 離線處理可以倒推。
- 離線處理可以得出每種操作的時間序（loj121 動態圖的連通性）。
當處理一個要求整體滿足的問題時，可以只考慮局部，當所有的局部都滿足時，整體就滿足了（luogu 雙棧排序，NOI2018 冒泡排序）。
第k小問題的計數可以用容斥 (秘密襲擊)，就是說：
x成為第k小需要滿足兩個條件：$<x$的數目小於k，$\leq x$的數目大於等於k。 可以用滿足1的減去滿足1且不滿足2的。 顯然，不滿足2，就一定滿足1。 因此，用“$<x$的數目小於k”減去“$\leq x$的數目小於k”即可。
meet-in-the-middle 算法
應用：BSGS優化，分別以1，平方根為步長，進行預處理，這樣，任意一個數都能用處理好的兩個數之和來表示。
易忘的:
線段樹合並 分塊，分類 差分約束 預處理 線段樹分治，線段樹建圖，線段樹掃描線 2-SAT bitset優化
看到方差可以考慮推式子，轉化為平方和-平均數×總和。
排列的三維偏序數，可以容斥。答案為$\frac{F(a,b)+F(a,c)+F(b,c)-\frac{n*(n-1)}{2}}{2}$。F為二位偏序。
判斷兩種狀態能否到達時，若狀態的轉移有單方向性，可以求出兩個狀態按照方向轉以后到達的最終狀態，判斷是否相等。（其實就是狀態的轉移是樹形的）。
正難則反，可以把問題反過來（比如：讓求字符串中是否有不相等的距離為k的兩個位置，由於字符串算法大多是求匹配的，所以可以反過來，看是否都相等）。
坐標轉化：曼哈頓距離是∆ x與∆ y之和，切比雪夫距離是∆ x與∆ y的最大值。
考慮一個問題時，可以考慮特殊情況的解法（比如樹上問題，可以先考慮鏈，菊花的情況；基環樹，可以先考慮樹上的情況）。
如果網絡流的建圖比較簡單，可以考慮模擬網絡流優化（數據結構實現增廣），或堆模擬反悔操作
分類考慮:一部分滿足種類數小（預處理）,一部分計算快,可以分類求（通常平方根為界，但實際上有偏差）。
如果題目中要求最后一個，即max，可以使用min-max容斥變為求max，即第一個。
算法優化
傳有數組的結構體要盡量用引用。
模數要用define或const！！！！會快些
在枚舉子集時，若要遍歷其中的元素，可以采用如下方法，會快些：
for(int i=0,j=1;i<n;i++,j=(j<<1)) lg[j]=i; //…… for(int i=0;i<(1<<n);i++) { for(int t=i;t>0;t^=t&(-t)) { int k=lg[t&(-t)]; //…… } }FWT的一個小技巧：此處
Hash掛鏈通常比map快，快很多，但要注意hash的方法。
在使用枚舉+二分時，可以把枚舉的順序打亂，並在二分前先判斷當前的最優解是否可行，這樣可以把二分的次數降到期望$O(logn)$。
在優化算法時，可以考慮把若干次相似的操作合並成一次進行。
在圖中路徑計數使用矩陣快速冪時，如果這個圖時DAG，可以按照拓撲序之進行三角的枚舉，從而把常數變為$\frac{1}{6}$。
若矩陣快速冪復雜度太高，可以考慮使用BM求出前幾項遞推式，進行快速遞推。
帶修改的二維偏序的枚舉，可以做到$O(nlogn)$，方法是按照第一維建立線段樹，維護第二維的最值。在枚舉時dfs線段樹，根據這個最值判斷。例題
三、一些公式
組合數
二項式反演
min/max容斥擴展
單位根反演
EXCRT
\(x = r1 (mod a1)\) \(x = r2 (mod a2)\) \(k1 * a1 + r1 = k2 * a2 + r2\) \(k1 * a1 = (r2 – r1) (mod a2) （3）\) 在此基礎上我們求k1這個未知變量即形如$ax = c (mod b)$中的x的解, 設得出的解為k0(最小正整數解), 那么(3)的 k1的通解一定為 \(k1 = k0 + t * \frac{a2}{gcd(a1, a2)}\) (t為任意正整數) 帶入(1)中即可得$x = k0 * a1 + r1 + t * a1 * \frac{gcd(a1, a2)}$ \(x = k0 * a1 + r1 (mod (lcm(a1, a2))) (4)\) (4)就是我們想要的合並方程(切記k0為最小正整數解)
杜教篩
\(S(n)=\Sigma(f*g)(i)-\Sigma g(d)*S(\frac{n}{d})\)
四、一些模板
由於篇幅太長，見此處