CF1245F: Daniel and Spring Cleaning

CF1245F： Daniel and Spring Cleaning

題意描述:

• 給定區間\([L,R]\)，其中 \((0\leq L,R\leq 10^9)\)，問在區間內有多少數對\((x,y)\)滿足\(x+y==x\land y\)。

輸入描述：

• 第一行輸入一個\(T\)表示測試樣例數目。
• 接下來每一個測試樣例輸入兩個整數\(L,R\)表示區間。

輸出描述：

• 輸出一個整數表示答案。

思路：

• 首先對條件進行變形。
• \(x+y==x\land y\)，有\(x\&y==0\)，證明略。
• 那么題目要求的就轉化為區間內\(x\&y==0\)的數對數量。
• 定義\(f(l,r)\)為\([l,r)\)區間內滿足條件的數對的數量。那么顯然有\(f(0,r)=2r+f(1,r)\)，因為\(0\)可以和任意數字組合。
• 性質：\(f(2l,2r)=3f(l,r)\)。
  • 證明：
  • 考慮滿足條件的數對\((x,y)\)的二進制表示。對於最右邊的位置，有三種選擇方式\((0,1),(1,0),(0,0)\)。
  • 選擇其他位的方法是\(f(l,r)\)，因此\(f(2l,2r)=3f(l,r)\)。
• 這樣我們可以每次對范圍除以\(2\)，但這樣就要保證我們的\(l,r\)是偶數，當他不是偶數的時候可以進行如下操作。
• 定義\(g(x,n)\)為滿足以下條件的\(y\)的個數。
  • \(0\leq y<n\)
  • \(x\&y==0\)
• 那么當\(l\)是奇數的時候：
  • \(f(l+1,r)=f(l,r)-2(g(l,r)-g(l,l))\)。
    • 解釋：由最上方定義的那個性質可以知道：\(f(l,r)=num+f(l+1,r)\)，其中\(num\)是\(l\)與\([l,r]\)區間內的數滿足條件的數對\((l,x)\)數量\((x\in[l,r])\)。
    • 那么由\(g(i,j)\)的定義可知，\(g(l,r)\)表示\(l\)在\([0,r]\)范圍內滿足條件的\(y\)的個數，\(g(l,l)\)表示在\([0,l)\)范圍內滿足條件的\(y\)的個數，那么兩個相減就是\([l,r)\)區間內滿足條件數對的數量。當然要\(*2\)，因為\((x,y)\)與\((y,x)\)為兩種情況。
  • 變形為\(f(l,r)=f(l+1,r)+2(g(l,r)-g(l,l))\)。
• 同樣的當\(r\)為奇數的時候有：
  • \(f(l,r-1)=f(l,r)-2(g(r-1,r)-g(r-1,l))\)。
    • 解釋：他的差值也就是\(r-1\)在\([l,r)\)內有多少滿足條件的數對。
  • \(f(l,r)=f(l,r-1)+2(g(r-1,r)-g(r-1,l))\)。
• 於是我們只需要考慮如何快速的計算\(g(i,j)\)。
• 定義\(h(x,n)\)為滿足下列條件的\(y\)的數量。
  • \(n-lowbit(n)\leq y<n\)
  • \(x\& y==0\)
• 那么有\(g(x,n)=h(x,n)+g(x,n-lowbit(n))(n>0)\)。
• 對於\(h(x,n)\)，我們可以在\(logn\)的時間內計算出來。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll g(int a, int b)
{
    ll res = 0;
    ll num = 0;

    for(int i = 1; i <= b; i <<= 1)
    {
        if(b & i)
        {
            b ^= i;
            if(!(a&b)) res += 1<<num;
        }
        if(!(a&i)) num++;
    }

    return res;
}

ll calc(int a, int b)
{
    if(a == b) return 0;
    if(a == 0) return 2*b - 1 + calc(1, b);
    ll res = 0;
    if(a & 1)
    {
        //f(l,r)=f(l+1,r)+2(g(l,r)-g(l,l))
        res += 2 * (g(a, b) - g(a,a));
        a++;
    }
    if(b & 1)
    {
        //f(l,r)=f(l,r-1)+2(g(r-1,r)-g(r-1,l))
        res += 2 * (g(b-1, b) - g(b-1, a));
        b--;
    }
    return res + 3 * calc(a/2, b/2);
}

int main()
{
    int T; cin >> T;
    int a, b;
    while(T--)
    {
        cin >> a >> b;
        cout << calc(a, b+1) << endl;
    }
    return 0;
}