CF1030F Putting Boxes Together

昨晚的比賽題。（像我這種蒟蒻只能打打div2）

題意

　　給你$n$個物品，每一個物品$i$，有一個權值$w_i$和一個位置$a_i$，定義移動一個物品$i$到位置$t$的代價為$w_i * \left |a_i - t  \right |$，要求你寫一個數據結構支持以下兩種操作：

　　　　1、修改一個物品的權值

　　　　2、查詢把一個區間內全部移到相鄰的位置的最小值。

　　舉個栗子：如果要把$[l, r]$移到相鄰的位置，就是對於$\forall i \in [l, r]$，要有$pos_i = x + i - l\ (1 \leq x \leq n - (r - l))$，然后要確定這個$x$使移動的總代價最小，最后要求這個最小的代價對$1e9 + 7$取模的結果，每次詢問獨立。

　　注意：要先使總代價最小然后再取模，而不是取模后最小。

　　保證給出的$a_i$遞增。

兩個原題：

　　一個簡單題：

　　　　我們有很經典的貨倉選址的模型，就是在直線上有$n$個點，每一個點$i$有一個位置$pos_i$，每一個點有一個貨物。定義運輸貨物的代價是移動的距離。現在要在直線上選擇一個點建立貨倉，要把所有的貨物都運到這個點，要求使使代價最小，求這個最小代價。

　　　　很簡單吧，中位數。

　　　　抄一段lyd書上的證明：先把所有的點按照$pos_i$排序，假設貨倉建在$X$，左側的點有$P$個，右側的點有$Q$個。如果$P < Q$，那么把$X$往右移動會使答案變優，同理當$P > Q$使把$X$向左移動會使答案變優，所有最優解會在$P == Q$的地方產生。

　　　　再抄一句：當$n$是偶數的時候，這時$pos_{\frac{n}{2}}$和$pos_{\frac{n + 1}{2}}$中的點都可以是最優解。

　　稍微強化板：

　　　　現在每一個貨倉$i$里有$w_i$個貨物。

　　　　排序后，找到第一個$X$，使$\sum_{i = 1}^{X}a_i \geq \sum_{i = X + 1}^{n}a_i$，$X$就是最優解。

　　　　這個東西叫做帶權中位數。

　　　　丟一個百度百科的鏈接，里面有證明。                   傳送門

　　　　我自己把不嚴謹的證明在這里再寫一遍：

　　　　　　假設最優答案在$T$取到，那么有（唔，這里$a_i$代表權值）：

　　　　　　　　　　$\sum_{i = 1}^{n}a_i  *dis(i, T) \leq \sum_{i = 1}^{n}a_i * dis(i, T + 1)$

　　　　　　變形一下：

　　　　　　　　　　$\sum_{i = 1}^{T - 1}a_i  *dis(i, T) + \sum_{i = T + 1}^{n}a_i  *dis(i, T)  + a_{T + 1} * dis(T, T + 1)\leq \sum_{i = 1}^{T}a_i  *dis(i, T + 1) + \sum_{i = T + 2}^{n}a_i  *dis(i, T + 1)  + a_T * dis(T, T + 1)$

　　　　　　

　　　　　　發現$T$左邊的點走到$T + 1$與走到$T$比，多走了$dis(T, T + 1)$，而右邊的點則少走了$dis(T, T + 1)$。

　　　　　　消掉一模一樣的東西就得到了： $\sum_{i = 1}^{T}a_i \geq \sum_{i = T + 1}^{n}a_i$。

　　　　　　把$T$和$T - 1$代進去也是一樣的結果。

回到這題

　　那么這題要求移到相鄰的位置，可以理解為先移到同一個位置然后移回來，相對移動不變，我們只要找到這個帶權中位數的位置，就能得到最優解了。

　　帶上修改，我們可以用兩個樹狀數組來維護，一個維護$\sum_{i = 1}^{n}w_i$，另一個維護$\sum_{i = 1}^{n}w_i*(a_i - i)$，詢問的時候先二分一下找到帶權中位數的位置$pos$，然后對於$pos$左邊的點向右移，對於$pos$右邊的點向左移，就可以計算出答案了。

　　時間復雜度$O(nlog^2{n})$。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 2e5 + 5;
const ll P = 1e9 + 7;

int n, qn;
ll a[N], w[N];

template <typename T>
inline void read(T &X) {
    X = 0; char ch = 0; T op = 1;
    for(; ch > '9'|| ch < '0'; ch = getchar())
        if(ch == '-') op = -1;
    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48;
    X *= op;
}

namespace BitSum {
    ll s[N];
    
    #define lowbit(p) (p & (-p))
    
    inline void modify(int p, ll v) {
        for(; p <= n; p += lowbit(p))
            s[p] += v;
    }
    
    inline ll query(int p) {
        ll res = 0LL;
        for(; p > 0; p -= lowbit(p))
            res += s[p];
        return res;
    }
    
    inline ll getSum(int l, int r) {
        if(r < l) return 0LL; 
        return query(r) - query(l - 1);
    }
    
} 

namespace BitMul {
    ll s[N];
    
    #define lowbit(p) (p & (-p))
    
    inline void modify(int p, ll v) {
        v %= P;
        for(; p <= n; p += lowbit(p))
            (s[p] = s[p] + v + P) %= P;
    }
    
    inline ll query(int p) {
        ll res = 0LL;
        for(; p > 0; p -= lowbit(p))
            (res += s[p]) %= P;
        return res;
    }
    
    inline ll getSum(int l, int r) {
        return (query(r) - query(l - 1) + P) % P;
    }
    
} 

inline int getPos(int x, int y) {
    int ln = x, rn = y, mid, res;
    for(; ln <= rn; ) {
        mid = (ln + rn) / 2;
        if(BitSum :: getSum(x, mid) >= BitSum :: getSum(mid + 1, y))
            res = mid, rn = mid - 1;
        else ln = mid + 1;
    }
    return res;
}

inline ll abs(ll x) {
    return x > 0 ? x : -x;
}

inline ll max(ll x, ll y) {
    return x > y ? x : y;
}

inline ll min(ll x, ll y) {
    return x > y ? y : x;
}

inline void solve(int x, int y) {
    if(x == y) {
        puts("0");
        return;
    }
    int pos = getPos(x, y);
/*    ll res = BitMul :: getSum(x, y); //d1 = 0LL, d2 = 0LL;
    d1 = (d1 - (BitSum :: getSum(pos, y) % P) * 1LL * abs(a[pos] - pos) % P + P) % P;
    d1 = (d1 + (BitSum :: getSum(x, pos - 1) % P) * 1LL * abs(a[pos] - pos) % P + P) % P;    
    d2 = (d2 - (BitSum :: getSum(pos + 1, y) % P) * 1LL * abs(a[pos] - pos) % P + P) % P;
    d2 = (d2 + (BitSum :: getSum(x, pos) % P) * 1LL * abs(a[pos] - pos) % P + P) % P;    
    ll d = 0LL;
    d = (d - (BitSum :: getSum(pos, y) % P) * 1LL * abs(a[pos] - pos) % P + P) % P;
    d = (d + (BitSum :: getSum(x, pos - 1) % P) * 1LL * abs(a[pos] - pos) % P + P) % P;    */
    
    ll res = 0LL;
    res = (-BitMul :: getSum(x, pos) + (BitSum :: getSum(x, pos) % P) * abs(a[pos] - pos) % P + P) % P;    
    res = (res - (BitSum :: getSum(pos, y)) % P * abs(a[pos] - pos) % P + BitMul :: getSum(pos, y) + P) % P;

//    printf("%lld\n", (res + d + P) % P);
    printf("%lld\n", res);
}

int main() {
    read(n), read(qn);
    for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        read(w[i]);
        BitMul :: modify(i, w[i] * (a[i] - i));
        BitSum :: modify(i, w[i]);
    }
    
    for(int x, y; qn--; ) {
        read(x), read(y);
        if(x < 0) {
            x = -x;
            BitSum :: modify(x, -w[x]);
            BitMul :: modify(x, -1LL * w[x] * (a[x] - x));
            w[x] = 1LL * y;
            BitSum :: modify(x, w[x]);
            BitMul :: modify(x, 1LL * w[x] * (a[x] - x));
        } else solve(x, y);
    }
    
/*    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld ", BitSum :: getSum(i, i));    */
    
    return 0;
}