題目描述
給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每段繩子的長度記為k[0],k[1],...,k[m]。請問k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。
題目分析
首先，將該題目可以建模成：
（一）當不考慮未知數是否為整數的情況
可知，首先要找到最佳的m，再找到最佳的m個段長。若m固定的話，怎樣將n分配到m段才能讓這m段的乘積最大呢？很容易想到，當n均勻分配到m段時，m段長的乘積最大，這也是可以證明得到的。
假設m=2，則x+y=n,f(x,y)=x*y=x*(n-x)=nx-x2，對於這樣一個二次函數，它具有最小值n2/4，對應x=y=n/2，這個大家都知道。那么推廣到m未知的情況，是怎么樣的？
根據
可以消元得到
對函數求偏導並令所有偏導等於0，即可得到極值：
...
化簡得到：
...
即：
那么可知
此時f函數在m固定的情況下具有最大值，那么其實m也是個未知數，如何確定m使得f函數最大呢？
我們又可以使用求導令其等於0的方法，不過我們可以稍稍變換一下函數使其更好求導，即函數前加個ln：
求出了lnf的極值點，那么也就求出了f的極值點：
可得：
故可知：上式情況下函數f具有最大值
（二）考慮到未知數應為整數的情況
根據我們的建模公式，咱們的未知數都為整數，而在上一步，我們求得的解很可能產生小數，所以我們需要調整。
m的范圍最好是在n/e左右，那么就考慮m要么為n/e左邊的整數，要么為其右邊的整數。
同理，分出來的段長要么為2，要么為3。
python編程實現
1 for i in range(2, 61): 2 m = i/math.e 3 m1 = int(m) if int(m) > 1 else 2 4 m2 = m1 + 1 if int(m) > 1 else 2 5 c1 = int(i/m1) 6 c2 = int(i/m2) 7 r3 = ((c1+1) ** (i - c1 * m1)) * (c1 ** (m1 - i + c1 * m1)) 8 r4 = ((c2+1) ** (i - c2 * m2)) * (c2 ** (m2 - i + c2 * m2)) 9 print(r3 if r3 >= r4 else r4)