前面的文章介紹了如何用Tarjan算法計算無向圖中的e-DCC和v-DCC以及如何縮點。
本篇文章資料參考：李煜東《算法競賽進階指南》
這一篇我們講如何用Tarjan算法求有向圖的SCC( 強連通分量 )已經如何縮點。
給定一張有向圖，若對於圖中任意兩個節點x和y，
既有x到y的路徑，又有y到x的路徑，則該有向圖是一張“強連通圖”。
有向圖的極大連通子圖被稱為“強連通分量”，即SCC。
一個環一定是強連通圖。如果既有x到y的路徑，又有y到x的路徑，那么x和y就一定在一個環中。
這就是Tarjan算法的原理：對於每個點x，找到與它一起能構成環的所有點。
下面介紹有向圖中的三種邊(x,y)：
1. 樹枝邊：搜索樹中x是y的父節點
2. 前向邊：搜索樹中x是y的祖先節點
3. 后向邊：搜索樹中y是x的祖先節點
4. 橫叉邊：除了以上三種情況外的邊，滿足dfn[y]<dfn[x]
這里只給出簡單定義，不再贅述。
我們可以發現，用Tarjan算法求SCC時，后向邊(x,y)可以和搜索樹上從y到x的路徑構成一個環。
除后向邊外，通過橫叉邊也可能找到一條從y出發能回到x的祖先節點的路徑。
那么為了找到通過橫叉邊和后向邊構成的環，Tarjan算法在dfs的過程中維護一個棧，當訪問到節點x時，棧中需要保存以下兩類節點：
1. 搜索樹上x的祖先節點，記為集合anc(x)。設y∈anc(x)，若存在一條后向邊(x,y)，則(x,y)和y到x之間的路徑一起形成環。
2. 已經訪問過，並且存在一條路徑到達anc(x)的節點。
設z時一個這樣的點，從z出發存在一條路徑到達y∈anc(x)。若存在橫叉邊(x,y)，則(x,z)、z到y的路徑、y到x的路徑形成一個環。
綜上，棧中的節點就是能從x出發點的“后向邊”和“橫叉邊”形成環的節點。
至此，我們引入追溯值low[x]的概念，有向圖的Tarjan算法里面的定義和無向圖是不一樣的。
還是設subtree(x)表示以x為根的子樹。x的追溯值low[x]定義為滿足一下條件的節點的最小dfn：
1. 該點在棧中 2. 存在一條從subtree(x)出發的有向邊，以該點為終點
根據以上定義，Tarjan算法根據以下步驟計算low[x]：
1. 當節點x第一次被訪問時，將x入棧，初始化low[x]=dfn[x]
2. 掃描從頭x出發的每條邊(x,y)，若y沒被訪問過，則說明(x,y)時樹枝邊，遞歸訪問y，從y回溯之后，令low[x]=min(low[x],low[y])，若y被訪問過且y在棧中，令low[y]=min(low[x],dfn[y])
3. 從x回溯之前，判斷是否有low[x]=dfn[x]，若成立，則不斷從棧中彈出節點直至x出棧。
SCC的判定法則：
在上面的計算步驟3中，從棧中從x到棧頂的所有節點構成一個SCC。
少廢話，上代碼！
好der~
#include<bits/stdc++.h> #define N 1000010 using namespace std; inline int read(){ int data=0,w=1;char ch=0; while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar(); if(ch=='-')w=-1,ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar(); return data*w; } struct Edge{ int nxt,to; #define nxt(x) e[x].nxt #define to(x) e[x].to }e[N<<1]; int head[N],tot=1; inline void addedge(int f,int t){ nxt(++tot)=head[f];to(tot)=t;head[f]=tot; } int dfn[N],low[N],stk[N],ins[N],c[N]; vector<int> scc[N]; int n,m,cnt,top,num; void tarjan(int x){ dfn[x]=low[x]=++cnt; stk[++top]=x,ins[x]=1; for(int i=head[x];i;i=nxt(i)){ int y=to(i); if(!dfn[y]){ tarjan(y); low[x]=min(low[x],low[y]);//搜索樹上的點 }else if(ins[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);//y在棧中且y被訪問過了
}
if(dfn[x]==low[x]){ num++;int z;//新的一個SCC do{ z=stk[top--],ins[z]=0;//彈出棧頂元素z c[z]=num,scc[num].push_back(z);//z插入存第num個SCC的vector里 }while(z!=x);//直到x被彈出棧 } } int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;i++){ int x=read(),y=read(); addedge(x,y); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i])tarjan(i); for(int i=1;i<=num;i++){ printf("%d:",i); for(int j=0;j<scc[i].size();j++){ printf(" %d",scc[i][j]); } putchar(10); } return 0; }
SCC的縮點就非常簡單了，上面我們已經用c[x]儲存了每個點所在的SCC的編號，那我們直接類似e-DCC的縮點，把每個SCC縮成一個點，若c[x]≠c[y]，我們就在編號為c[x]和c[y]的SCC中連一條邊就可以得到一個有向無環圖( DAG )。
代碼真的非常簡單，甚至不需要再跑一遍dfs。
給出代碼：
for(int x=1;x<=n;x++) for(int i=head[x];i;i=nxt(i)){ int y=to(i); if(c[x]==c[y])continue; addedge_c(c[x],c[y]); } //夠簡單了吧...
整個程序的代碼我就不貼出來了，建新圖和我前面e-DCC縮點的博客完全一致。
下一篇講點數學，別忘了來聽課。