這一篇講線段樹優化建圖。
發現網上關於線段樹優化建圖的博客很少而且講的不是很詳細，很多人會看得比較懵。
於是原本這一篇打算講樹鏈剖分的就改成講優化建圖了。
前置知識：動態開點線段樹
看到標題你可能會感覺奇怪，線段樹和建圖有什么關系？
事實上，線段樹優化建圖就是利用兩棵線段樹，減少連邊數量，達到降低復雜度的目的。
聽起來好像很神奇，其實實現非常簡單。
我們來看這一道題：CF786B-Legacy
題目描述比較長，我就不打出來了，這里給出題目概述：
有n個點，q個詢問，每次詢問給出一個操作。
操作1：1 u v w，從u向v連一條權值為w的有向邊
操作2：2 u l r w，從u向區間[l,r]的所有點連一條權值為w的有向邊
操作3：3 u l r w，從區間[l,r]的所有點連一條權值為w的有向邊
連完邊后跑一遍最短路就好了。
首先考慮暴力連邊，復雜度肯定是O(n^2)的，顯然不行。
然后我們看到了“區間”，“[l,r]”這種東西，肯定就會往數據結構上面想。
看到博客的標題就明白，肯定是用線段樹解決了。廢話
接下來講實現。
我們考慮用兩棵線段樹來搞，建兩棵線段樹，一棵處理入邊，一棵處理出邊。
方便起見，我們下文稱其為入樹和出樹。
開始我們讓父親和兒子連邊，然后我們再讓入樹和出樹的葉子節點之間連上邊權為0的邊。
建出來的圖大概長這樣：
這圖畫得累死我了，畫圖真難用
還是看不懂的就看代碼吧：
void buildOut(int &o,int l,int r){//建出樹 if(l==r){ o=l;return;//已經是子節點,直接賦值 }
o=++ncnt; int mid=(l+r)>>1; buildOut(lc[o],l,mid);buildOut(rc[o],mid+1,r); addedge(o,lc[o],0);//從o向o的左右子樹連一條權值為0的有向邊 addedge(o,rc[o],0); }
void buildIn(int &o,int l,int r){//建入樹 if(l==r){ o=l;return;//已經是子節點，直接賦值 } o=++ncnt;//開新點 int mid=(l+r)>>1; buildIn(lc[o],l,mid);buildIn(rc[o],mid+1,r);//遞歸建樹 addedge(lc[o],o,0);//從o的左右子樹向o連一條權值為0的有向邊 addedge(rc[o],o,0); }
至此，線段樹就建好了。
現在我們需要用update操作來連邊。
我們首先定義修改區間為[L,R]，我們有兩種操作( 2和3 )。
類似區間修改操作，如果當前區間被[L,R]涵蓋，我們就連邊。
注意根據操作要求連邊，不要連反了。
給出這一部分的代碼：
void update(int o,int l,int r,int f,int val,short type){ if(L<=l && R>=r){//被涵蓋 type==2?addedge(f,o,val):addedge(o,f,val);//如果是操作2就往區間連邊，如果是操作3就往點連邊 return; } int mid=(l+r)>>1; if(L<=mid)update(lc[o],l,mid,f,val,type); if(R>mid)update(rc[o],mid+1,r,f,val,type);//遞歸連邊 }
接下來寫一個最短路，由於題目說明了1<=w<=1e9，所以我們選擇dijkstra算法求最短路。
不清楚堆優化的dijkstra算法的朋友可以找相關博客學習。
我這里就不再贅述，現在給出最后的程序。
#include<bits/stdc++.h> #define N 100010 #define M 300010 #define LOG 20 typedef int mainint; #define int long long using namespace std; int head[M],lc[M*LOG],rc[M*LOG],tot,ncnt; int n,m,s,rt1,rt2; struct Edge{ int nxt,to,val; #define nxt(x) e[x].nxt #define to(x) e[x].to #define val(x) e[x].val }e[N*LOG]; inline void addedge(int f,int t,int val){ nxt(++tot)=head[f];to(tot)=t;val(tot)=val;head[f]=tot; } void buildOut(int &o,int l,int r){//建出樹 if(l==r){ o=l;return;//已經是子節點,直接賦值 }o=++ncnt; int mid=(l+r)>>1; buildOut(lc[o],l,mid);buildOut(rc[o],mid+1,r); addedge(o,lc[o],0);//從o向o的左右子樹連一條權值為0的有向邊 addedge(o,rc[o],0); } void buildIn(int &o,int l,int r){//建入樹 if(l==r){ o=l;return; } o=++ncnt; int mid=(l+r)>>1; buildIn(lc[o],l,mid);buildIn(rc[o],mid+1,r); addedge(lc[o],o,0);//從o向o的左右子樹連一條權值為0的有向邊 addedge(rc[o],o,0); } int L,R; void update(int o,int l,int r,int f,int val,short type){ if(L<=l && R>=r){ type==2?addedge(f,o,val):addedge(o,f,val); return; } int mid=(l+r)>>1; if(L<=mid)update(lc[o],l,mid,f,val,type); if(R>mid)update(rc[o],mid+1,r,f,val,type); } const int inf=0x7fffffffffffffff; int dis[M]; priority_queue< pair<int,int> > q; int vis[M]; void dijkstra(int s){ for(int i=1;i<=M;i++)dis[i]=inf,vis[i]=0; dis[s]=0;q.push(make_pair(0,s)); while(q.size()){ int x=q.top().second;q.pop(); if(vis[x])continue; vis[x]=1; for(int i=head[x];i;i=nxt(i)){ int y=to(i),z=val(i); if(!vis[y]&&dis[y]>dis[x]+z){ dis[y]=dis[x]+z; q.push(make_pair(-dis[y],y)); } } } } inline int read(){ int data=0,w=1;char ch=0; while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar(); if(ch=='-')w=-1,ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar(); return data*w; } mainint main(){ n=read();m=read();s=read(); ncnt=n;//建邊要求,線段樹節點從n+1開始編號 buildOut(rt1,1,n);buildIn(rt2,1,n); while(m--){ int opt,f,t,val; opt=read(); if(opt==1){ f=read();t=read();val=read(); addedge(f,t,val);//上面對葉子節點已經處理了,直接連邊 }else{ f=read();L=read();R=read();val=read(); update(opt==2?rt1:rt2,1,n,f,val,opt); } } dijkstra(s); for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",dis[i]<inf?dis[i]:-1); return 0; }
注意我用了#define int long long，這其實不是一個好習慣，只是我比較懶
那么這篇博客到這里就結束了，線段樹系列將停更一段時間( 很短 )。
接下來我會更新一些其它數據結構、算法還有圖論的博客。
撰文不易，希望能幫到各位。求點贊求關注QuQ。