背景介紹
時間序列：一組對於某一變量連續時段上的觀測值。
模式識別主要涉及到兩個方向：一個是復雜統計，另一個是機器學習。復雜統計是將數據擬合到已知的古典模型中，比如ARMA。而機器學習會用深度學習-神經網絡，進行暴力擬合。本文主要講述復雜統計中的AR、MA、ARMA、ARIMA四種經典模型。深度學習可以參考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/23366705。
時間序列分為三類
1.平穩序列：均值和方差是常數，通常建立線性模型來擬合未來的發展狀況，如AR、MA、ARMA模型等。
2.可以轉化為平穩序列的非平穩序列：一般經過K次差分后平穩，再按照平穩序列進行擬合，如ARIMA模型。
3.無法轉化為平穩序列的非平穩序列：所謂的白噪聲序列，沒有任何規律可循。可以停止分析。
判斷是否平穩的方法：
a. 根據時序圖和自相關圖的特征做出主觀判斷，該方法操作簡單、應用廣泛，但帶有主觀性。
時序圖檢驗：平穩序列的時序圖顯示序列值始終在一個常數附近隨機波動，且波動的范圍有界。
自相關圖檢驗：平穩序列具有短期相關性，所以間隔越遠的過去值對現時值的影響會越來越小。
平穩序列的自相關系數會比較快的衰減趨向於零，可以轉化為平穩序列的非平穩序列則比較慢。
b. 構造檢驗統計量，目前最常用的方法是單位根檢驗。存在單位根就是非平穩時間序列。
建模步驟
（1）得到平穩序列數據：上述1類不用處理，上述2類要進行差分處理。
（2）計算ACF/PACF：計算得出序列的自相關系數和偏相關系數圖形。
（3）模型識別：根據ACF、PACF圖形選擇合適的模型。
（4）模型檢驗：估計模型中未知參數的值並進行檢驗。
（5）模型優化：如調整參數值達到理想狀態。
（6）模型應用：進行短期預測。
ACF/PACF是什么
ACF： 自相關函數(系數) Autocorrelation
PACF：偏相關函數(系數) Partial Correlation
ACF在計算X(t)和X(t-h)的相關性的時候，僅會考慮(t-h)數據點對X(t)的影響。
PACF在計算X(t)和X(t-h)的相關性的時候，會挖空(t-h,t)上所有數據點對X(t)的影響。
這個過程用的多元線性擬合、最小二乘求極值的思想，各個數據點作為特征，其特征向量就是系數值。
ACF/PACF圖形識別：拖尾 or 截尾
平穩序列的ACF/PACF圖形不是拖尾就是截尾：
拖尾就是有衰減趨勢，慢慢趨於0或者極小值。
截尾就是在某階之后，突然變為0或者極小值 。
常見的三角對稱圖形，既非拖尾也非截尾，屬於單調序列的典型表現形式，表示原始數據是不平穩序列。
還有一種常見說法：拖尾是不在某階后均為0；截尾是在某階后均為0。有點一分為二的絕對，不太認同。
根據ACF/PACF圖形選擇模型
平穩序列：
如果ACF拖尾，PACF截尾，則用 AR 算法
如果ACF截尾，PACF拖尾，則用 MA 算法
如果ACF拖尾、PACF拖尾，則用 ARMA 算法。
可以轉化為平穩序列的非平穩序列：
常用 ARIMA算法。它是ARMA算法的擴展版，用法類似 。
模型介紹
AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)、ARIMA(p,d,q)：p為自回歸項數，q為移動平均項數，d為差分階數。
1.AR(p)模型：描述當前值與歷史值間的關系。參數p為自回歸項數，可認為是截尾階數。
2.MA(q)模型：描述自回歸部分的誤差累計。參數q為移動平均項數，可認為是截尾階數。
3.ARMA(p,q)模型：前兩個模型的結合體。q=0時即AR(p)模型；p=0時即MA(q)模型。
4.ARIMA(p,d,q)模型：ARMA(p,q)的基礎上增加差分步驟，參數d為差分次數。
英文名稱：Autoregressive Integrated Moving Average。“差分”單詞雖未體現，卻是關鍵步驟。
差分是為了將非平穩序列轉化為平穩序列。若一次差分后的序列即達到平穩序列，那么參數d=1。依此類推。
由上可以得出：
並不需要按照ACF/PACF圖形選擇模型。可以直接應用ARMA/ARIMA算法，只要確定參數p/q的值即可。
一般階數不超過length/10，所以將p/q分別從0遞加試到length/10，模型誤差最小時即確定參數p/q的值。
簡單示例
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import style
import statsmodels.tsa.api as smt
import seaborn as sns
style.use('ggplot')
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用來正常顯示中文標簽
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用來正常顯示負號
# 參數初始化
discfile = '123.xlsx'
forecastnum = 5
# 讀取數據，指定日期列為指標，Pandas自動將“日期”列識別為Datetime格式
data = pd.read_excel(discfile, index_col=u'日期')
# 時序圖
data.plot()
plt.show()
# 自相關圖
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
#plot_acf(data).show()
#plot_pacf(data).show()
# 平穩性檢測
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
#print('ADF', ADF(data[u'銷量']))
# 返回值依次為adf、pvalue、usedlag、nobs、critical values、icbest、regresults、resstore
# 差分后的結果
D_data = data.diff().dropna()
D_data.columns = [u'銷量差分']
D_data.plot() # 時序圖
plt.show()
plot_acf(D_data).show() # 自相關圖
plot_pacf(D_data).show() # 偏自相關圖
print(u'差分序列的ADF檢驗結果為：', ADF(D_data[u'銷量差分'])) # 平穩性檢測
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox # 白噪聲檢驗
print(u'差分序列的白噪聲檢驗結果為：', acorr_ljungbox(D_data, lags=1)) # 返回統計量和p值
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
data[u'銷量'] = data[u'銷量'].astype(float)
# 定階
pmax = int(len(D_data) / 10) # 一般階數不超過length/10
qmax = int(len(D_data) / 10) # 一般階數不超過length/10
bic_matrix = [] # bic矩陣
for p in range(pmax + 1):
tmp = []
for q in range(qmax + 1):
try: # 存在部分報錯，所以用try來跳過報錯。
tmp.append(ARIMA(data, (p, 1, q)).fit().bic)
except:
tmp.append(None)
bic_matrix.append(tmp)
bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix) # 從中可以找出最小值
p, q = bic_matrix.stack().idxmin() # 先用stack展平，然后用idxmin找出最小值位置。
#print(u'BIC最小的p值和q值為：%s、%s' % (p, q))
model = ARIMA(data, (p, 1, q)).fit() # 建立ARIMA(0, 1, 1)模型
model.summary(2) # 給出一份模型報告
print model.forecast(5) # 作為期5天的預測，返回預測結果、標准誤差、置信區間。