Shor 量子算法原理淺析

學習這個算法時候網上介紹不多，只能硬啃論文；本片文章是對Shor算法原理的一個簡單描述，以及它用於解決什么樣的問題，其實最關鍵的部分（關於QFT 量子傅里葉變換的內容）我並不理解，但這並不影響我們以數論的現有知識來學習理解這個算法。

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 背景

眾所周知，RSA體制的安全性是建立在大數分解這一難題基礎上的，嚴格說來，也只是涉及到兩個大質數相乘所得到的合數。自RSA 誕生伊始，人們對其安全性的理論論證就 一直未停止過。由於 RSA 中指數運算保持了輸入的乘積結構，這一點令人甚為擔憂。

1994年，AT&T公司研究人員Shor發現了分解兩個大質因數相乘合數的量子算法（質數就是素數），對RSA公鑰密碼體制產生強烈沖擊；它不僅給量子計算機研究注入了活力，引發了量子計算和量子計算機研究的熱潮。

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 原理

         設n₁、n₂為兩個奇質數（大於2的素數），而N = n₁·n₂，Shor算法概述如下：

（1）隨機取正整數y，要求y<N且與N互素，用量子計算機和相關算法求r = ord_N(y)，即y是關於N的階數，r是使得y^r Ξ 1 mod N成立的最小正整數( 也就是說，函數f(t) = y^t mod N的最小正周期為r)。

（2）若r為奇數，則返回（1）重新取y。並重新求r，直到r為偶數為止。

（3）r為偶數，取  x Ξ  y^r/2 mod N。

　　　　　　   故  x² Ξ  1  mod N

　　　　　　(x+1)(x-1) Ξ  0  mod N

　　 於是設 (x+1)(x-1) = t·N = t·n₁·n₂ ，t為正整數，t不一定為素數，假設可繼續分解為t = r·s，r、s為大於等於1的正整數。

　　      　　(x+1)(x-1)  =  (r·n₁)·(s·n₂) 這是等式

　　 於是上式有兩個解：

　　　1.　x₁+1 Ξ 0 mod n₁ ，x₁-1  Ξ 0 mod n₂     解為 n₁ = gcd(x+1,N) ， n₂ =  gcd(x-1,N)

　　　2.    x₂+1 Ξ 0 mod n₂ ，x₂-1  Ξ 0 mod n₁    解為 n₁ = gcd(x-1,N)  ， n₂ =  gcd(x+1,N)

　　  接下來使用輾轉相除法分別求出x+1和N的最大公約數、x-1和N的最大公約數分別為n₁和n₂。

　　  綜上，已知N，選取隨機數y<N且互素，最重要的一步是求y關於N的階r，要求r為偶數。進而由r計算出x：  x Ξ  y^r/2 mod N 。最后求x+1、x-1和N的最大公約數分別為n₁、n₂ 。　　

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 評價

　　  Shor算法的核心是利用數論的一些定理，將大數因子分解過程轉化為求某個函數的周期，由於在量子環境下，可以以極高的效率實現量子傅里葉變換（QFT），從而可以對大數質因子進行分解。

 

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參考　

1. 量子Shor算法與RSA體制的安全性_曹正軍

2. SHOR量子算法的原理與程序模擬_朱纓