pareto最優解（多目標智能算法要用到）

自己的方向是電力系統多目標優化，其中就要用到pareto最優解，多目標求解就會篩選出一個相對較優的解的集合，在這個集合里就要用到pareto找出相對優的解或者最優解。

多目標優化問題的數學模型一般可以寫成如下形式

 

 表示n個目標函數，目標是都使之達到最小，  是其變量的約束集合，可以理解為變量的取值范圍，下面介紹具體的解之間的支配，占優關系。

1：解A優於解B（解A強帕累托支配解B）

假設現在有兩個目標函數，解A對應的目標函數值都比解B對應的目標函數值好，則稱解A比解B優越，也可以叫做解A強帕累托支配解B，舉個例子，就很容易懂了

下圖中代表的是兩個目標的的解的情況，橫縱坐標表示兩個目標函數值，E點表示的解所對應的兩個目標函數值都小於C，D兩個點表示的解所對應的兩個目標函數值，所以解E優於解C,D.

2：解A無差別於解B（解A能帕累托支配解B）

同樣假設兩個目標函數，解A對應的一個目標函數值優於解B對應的一個目標函數值，但是解A對應的另一個目標函數值要差於解B對應的一個目標函數值，則稱解A無差別於解B，也叫作解A能帕累托支配解B，舉個例子，還是上面的圖，點C和點D就是這種情況，C點在第一個目標函數的值比D小，在第二個函數的值比D大。

3：最優解

假設在設計空間中，解A對應的目標函數值優越其他任何解，則稱解A為最優解，舉個例子，下圖的  就是兩個目標函數的最優解，使兩個目標函數同時達到最小，但是前面也說過，實際生活中這種解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最優解

4：帕累托最優解

同樣假設兩個目標函數，對於解A而言，在 變量空間 中找不到其他的解能夠優於解A（注意這里的優於一定要兩個目標函數值都優於A對應的函數值），那么解A就是帕累托最優解，舉個例子，下圖中應該找不到比  對應的目標函數都小的解了吧，即找不到一個解優於  了，同理也找不到比  更優的解了，所以這兩個解都是帕累托最優解，實際上，  這個范圍的解都是帕累托最優解，不信自己慢慢想。因此對於多目標優化問題而言，帕累托最優解只是問題的一個可接受解，一般都存在多個帕累托最優解，這個時候就需要人們自己決策了。

5：帕累托最優前沿

還是看 剛才 那張圖 ，如下圖所示，更好的理解一下帕累托最優解，實心點表示的解都是帕累托最優解，所有的帕累托最優解構成帕累托最優解集，這些解經目標函數映射構成了該問題的Pareto最優前沿或Pareto前沿面，說人話，即帕累托最優解對應的目標函數值就是帕累托最優前沿。

對於兩個目標的問題，其Pareto最優前沿通常是條線。而對於多個目標，其Pareto最優前沿通常是一個超曲面。