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多項式回歸(波士頓房價預測)
一、導入模塊
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score
%matplotlib inline
font = FontProperties(fname='/Library/Fonts/Heiti.ttc')
二、獲取數據
在《代碼-普通線性回歸》的時候說到特征LSTAT和標記MEDV有最高的相關性，但是它們之間並不是線性關系，因此這次嘗試使用多項式回歸擬合它們之間的關系。
df = pd.read_csv('housing-data.txt', sep='\s+', header=0)
X = df[['LSTAT']].values
y = df['MEDV'].values
三、訓練模型
# 增加二次方，即二項式回歸
quadratic = PolynomialFeatures(degree=2)
# 增加三次方，即三項式回歸
cubic = PolynomialFeatures(degree=3)
# 訓練二項式和三項式回歸得到二次方和三次方的X
X_quad = quadratic.fit_transform(X)
X_cubic = cubic.fit_transform(X)
# 增加x軸坐標點
X_fit = np.arange(X.min(), X.max(), 1)[:, np.newaxis]
lr = LinearRegression()
# 線性回歸
lr.fit(X, y)
lr_predict = lr.predict(X_fit)
# 計算線性回歸的R2值
lr_r2 = r2_score(y, lr.predict(X))
# 二項式回歸
lr = lr.fit(X_quad, y)
quad_predict = lr.predict(quadratic.fit_transform(X_fit))
# 計算二項式回歸的R2值
quadratic_r2 = r2_score(y, lr.predict(X_quad))
# 三項式回歸
lr = lr.fit(X_cubic, y)
cubic_predict = lr.predict(cubic.fit_transform(X_fit))
# 計算三項式回歸的R2值
cubic_r2 = r2_score(y, lr.predict(X_cubic))
print(lr.score(X_cubic, y))
print(cubic_r2)
0.6578476405895719
0.6578476405895719
3.1 報告決定系數
r2_score即報告決定系數\((R^2)\)，可以理解成MSE的標准版，\(R^2\)的公式為
\[R^2 = 1-{\frac {{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y^{(i)}-\hat{y^{(i)}})^2}} {{\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^n(y^{(i)}-\mu_{(y)})^2} } \]
其中\(\mu_{(y)}\)是\(y\)的平均值，即\({{\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^n(y^{(i)}-\mu_{(y)})^2}\)為\(y\)的方差，公式可以寫成
\[R^2 = 1-{\frac{MSE}{Var(y)}} \]
\(R^2\)的取值范圍在\(0-1\)之間，如果\(R^2=1\)，則均方誤差\(MSE=0\)，即模型完美的擬合數據。
四、可視化
plt.scatter(X, y, c='gray', edgecolor='white', marker='s', label='訓練數據')
plt.plot(X_fit, lr_predict, c='r',
label='線性(d=1),$R^2={:.2f}$'.format(lr_r2), linestyle='--', lw=3)
plt.plot(X_fit, quad_predict, c='g',
label='平方(d=2),$R^2={:.2f}$'.format(quadratic_r2), linestyle='-', lw=3)
plt.plot(X_fit, cubic_predict, c='b',
label='立方(d=3),$R^2={:.2f}$'.format(cubic_r2), linestyle=':', lw=3)
plt.xlabel('地位較低人口的百分比[LSTAT]', fontproperties=font)
plt.ylabel('以1000美元為計價單位的房價[RM]', fontproperties=font)
plt.title('波士頓房價預測', fontproperties=font, fontsize=20)
plt.legend(prop=font)
plt.show()
上圖可以看出三項式的擬合結果優於二項式和線性回歸的結果，但是在增加模型復雜度的同時，也需要時刻考慮到是否會出現過擬合的問題。