【排列組合】給定一個M*N的格子或棋盤，從左下角走到右上角的走法總數（每次只能向右或向上移動一個方格邊長的距離）

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解法1：我們可以把棋盤的左下角看做二維坐標的原點(0,0)，把棋盤的右上角看做二維坐標(m,n)(坐標系的單位長度為小方格的變長)   

用f(i, j)表示移動到坐標f(i, j)的走法總數，其中0=<i, j<=n，設f(m, n)代表從坐標（0,0）到坐標(m,n)的移動方法，

則f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1).

於是狀態f(i, j)的狀態轉移方程為：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)    if i, j>0

f(i, j) = f(i, j-1)                  if i=0

f(i, j) = f(i-1, j)                  if j=0

優化的狀態f(i, j)的狀態轉移方程為：

遞歸結束條件為：f(0,0)=0, f(0,1)=1, f(1,0)=1。這個問題可以在時間O(n^2)，空間O(n^2)內求解。

遞歸解法

//遞歸解法
int process(int m, int n) {
    //永遠不可能達到m & n同時為0的條件，除非輸入m=n=0
    if (m == 0 && n == 0)
         return 0;
    if (m == 0 || n == 0)
         return 1;
    return process(m, n - 1) + process(m - 1, n);
}

非遞歸解法

int processNew(int m,int n){
      int **Q=new int*[m+1];
      for(int i=0; i<=m; ++i){
          Q[i]=new int[n+1]();
      }
      //初始化
      Q[0][0]=0;
      for(int j=1; j<=n; ++j)
          Q[0][j]=1;
     for(int i=1; i<=m; ++i)
         Q[i][0]=1;
     //迭代計算
     for(int i=1; i<=m; ++i){
         for(int j=1; j<=n; ++j){
             Q[i][j]=Q[i-1][j]+Q[i][j-1];
         }
     }
     int res=Q[m][n];
     delete [] Q;
     return res;
}

　　

解法2：這個題目其實是一個組合問題。對方向編號，向上是0，向右是1，那么從左下角走到右上角一定要經過M 個1和N個0。這個題目可以轉化為從M+N個不同的盒子中挑出M個盒子有多少種方法。答案是C(M+N, M)，或者C(M+N, N)的組合數。