算法復雜度O(logn)詳解

一.O(logn)代碼小證明

我們先來看下面一段代碼:

int cnt = 1;

while (cnt < n)
{
    cnt *= 2;
    //時間復雜度為O(1)的程序步驟序列
}

由於cnt每次在乘以2之后都會更加逼近n，也就是說，在有x次后，cnt將會大於n從而跳出循環，所以\(2 ^ x = n\), 也就是\(x = log_2n\)，所以這個循環的復雜度為O(logn)

二.典型時間復雜度

$c$ 常數
$logN$ 對數級
$log ^ 2N$ 對數平方根
$N$ 線性級
$NlogN$
$N ^ 2$ 平方級
$N ^ 3$ 立方級
$2 ^ N$ 指數級

由此我們可以得知，\(logN\)的算法效率是最高的

三.常見的\(logN\)算法

1.對分查找

- (int)BinarySearch:(NSArray *)originArray element:(int)element
{
    int low, mid, high;
    low = 0; high = (int)originArray.count - 1;
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        if ([originArray[mid] intValue] < element) {
            low = mid + 1;
        } else if ([originArray[mid] intValue] > element) {
            high = mid -1;
        } else {
            return mid;
        }
    }
    
    return -1;
}

2. 歐幾里得算法

- (unsigned int)Gcd:(unsigned int)m n:(unsigned int)n
{
    unsigned int Rem;
    while (n > 0) {
        Rem = m % n;
        m = n;
        n = Rem;
    }
    return m;
}

3.冪運算

- (long)Pow:(long)x n:(unsigned int)n
{
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n == 1) {
        return x;
    }
    
    if ([self isEven:n]) {
        return [self Pow:x * x n:n / 2];
    } else {
        return [self Pow:x * x n:n / 2] * x;
    }
}

- (BOOL)isEven:(unsigned int)n
{
    if (n % 2 == 0) {
        return YES;
    } else {
        return NO;
    }
}

四.$$庫里的log函數

在$$庫里有log()函數和log2()函數

log()函數的底數默認為自然對數的底數e

log2()函數的底數很顯然就是2咯qwq

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;
//#define DEBUG(x) cerr << #x << "=" << x << endl

int main()
{
    cout << log(M_E) << endl;
    cout << log2(2) << endl;
    return 0;
}

然后我們就會得到

1
1

的結果

\[庫里有兩個常量M_E和M_PI M_E代表的是自然對數的底數e M_PI代表的是圓周率π ## 最后，也是最基本的最重要的 當題目的數據范圍達到了$10^{18}$的時候，很顯然就要用O(logn)的算法或數據結構了\]