問題
求 $\displaystyle {\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{\sqrt 2...}}}$.
分析
設 $\displaystyle {\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{\sqrt 2...}}} = X$，
則 $X = {\sqrt 2}^X$，解得 $X=2$ 或 $X=4$.
那么是其中的哪一個呢？
考慮如下數列：
設 $A_0 = \sqrt 2$，$A_{n+1} = {\sqrt 2}^{A_n}$.
由數學歸納法，
$A_0 \leq 2$，設 $A_n \leq 2$，
$A_{n+1} = {\sqrt 2}^{A_n} \leq {\sqrt 2}^2 = 2$，所以 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}A_n \leq 2$.
因此 $\displaystyle {\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{\sqrt 2...}}} = 2$.
當然，作為一名Coder，當然是打表了。
推廣到$C^{C^{C...}}$
設 $C > 0$，同樣得到方程 $X = C^X$。
分別作出 $y = x$ 和 $y = C^x$ 的圖像，
若 $C < 1$，只有一個交點，此時必然收斂；
若 $C > 1$，臨界點是兩者相切，
易求切點為 $(e, e)$，此時 $C = e^\frac{1}{e}$.
因此有結論：當 $C \leq e^\frac{1}{e}$ 收斂，當 $C < e^\frac{1}{e}$ 不收斂。
數學上的通用記法
有一種記法為：
$$_{ }^{n}\textrm{a} = \underbrace{a^{a^{a^{a...}}}}_n$$
稱為Tetration(迭代冪次)，即第四種運算的意思。也叫超級冪。