參考：（1）https://zhuanlan.zhihu.com/p/72161323
（2）https://zhuanlan.zhihu.com/p/56052015
（3）https://www.slideshare.net/leegoonz/penner-preintegrated-skin-rendering-siggraph-2011-advances-in-realtime-rendering-course
（4）https://developer.nvidia.com/gpugems/GPUGems3/gpugems3_ch14.html
（5）https://www.w3cschool.cn/ngyasc/q9gm7ozt.html
（6）http://filmicworlds.com/blog/filmic-tonemapping-operators/
主要講上面這張圖是怎么生成的。
在Pre-integrated Skin Shading（這篇文章收錄在《GPU Pro2》和《GPU Gem3》中，還有一個PPT里面說了這張圖的來源。
次表面散射
一些說法是，從光源發出的光進入物體內部，經過多次反射、折射、散射及吸收后返回物體表面的光，指的是Diffuse reflection，但在《Real Time Rendering》中把Diffuse Reflection稱為Local Subsurface Scattering。
次表面散射，大家都知道是光進入物體內部一通操作后又飛出來，local SSS指的是飛出去的點與最初進入的點之間的距離非常小，可以忽略不計，當作原地飛出。
有了local就有Global，Global SSS指的是兩點之間的距離無法忽略，比着色的最小單位要大（最小單位可以認為是光柵化后的一個像素）。
如上圖，小圈內的是local SSS，大圈內的是Global SSS。
積分
這張圖來自這個ppt：https://www.slideshare.net/leegoonz/penner-preintegrated-skin-rendering-siggraph-2011-advances-in-realtime-rendering-course
圖上這個方程是
gpu pro2的方程是
可以看出（2）比（1）多一個r，那么哪個是正確的呢？方程a可能是方程b的r取1時的結果，那么a就先不算錯了。
正確方程是
下面來推導，
假設p是屏幕上一點，由於皮膚具有次表面散射的特性，P受到P周圍一定范圍內的其他點的散射影響，假設是半圓APB的影響。（參考文檔2中，認為法線反方向的半球相當於皮膚背面，是不受光照的）。
假設L方向光的輻射度總和位1，取半圓上任意一點Q，則Q點的直接光照亮度為：
法線與OQ之間的夾角為x，法線與L方向的夾角為theta。假設Q點對P點的散射率為q（x），則Q點散射到P點后的亮度為：
半球上有無限個這樣的Q點，我們把這些Q點對P點的貢獻做個積分就是P點最后的亮度：
上式（1）中，只有Q點對P點的散射率q（x）是未知的，我們來求q（x）。
根據次表面散射的特征（后面會講，擴散剖面是與距離有關的），離發射光的點越遠的點，受到發射光的點的散射的影響應該越小，所以Q點對P點的散射率應該是一個與距離有關的函數。設d是QP的弦長，則
散射是對稱的（后面會講，擴散剖面計算是用的高斯函數，是對稱的），也可能是散射是跟距離有關的，所以，Q對P的散射率和P對Q的散射率相等。假設P點受到半圓上其他各點的影響，P點也會影響他周圍的半圓上的點。
根據能量守恆定律，P點在整個半圓上的散射率總和應該等於1，所以，實際是一個概率密度函數，滿足：
我們的目的是找到q（x），他既滿足次表面特征函數（下面會講，擴散曲面的函數R（d），https://developer.nvidia.com/gpugems/GPUGems3/gpugems3_ch14.html 可參考這篇文章），也要滿足能量守恆公式（2）.
但我們不能之間讓q（x）=R(d)，因為可能不滿足公式（2），即積分不為1。
我們可以令q（x）=kR（d），帶入（2），得到：
上式代入（1），有
到這兒，就得推導出了開始的公式。
總結：1.得到能量守恆公式（2）的物理解釋是關鍵 ；2. diffusion profile是基於距離的，不能用弧長代替弦長；3.對x的積分區域為（-pi/2， pi/2）；4.實踐中，應該使cos（theta+x）大於0，因為光亮度不應該為負。
擴散剖面
上面提到了diffusion profile，gpu gem3這篇文章說出，高斯函數的和公式被用來近似擴散剖面。對每個擴散剖面R（r），我們用k個不同權重w，不同方差的高斯和表示：
變量v的高斯定義為
參考鏈接5中說，
正態分布的密度函數叫做"高斯函數"（Gaussian function）。它的一維形式是：
其中，μ是x的均值，σ是x的方差。因為計算平均值的時候，中心點就是原點，所以μ等於0。
根據一維高斯函數，可以推導得到二維高斯函數：
參考文檔4中說，6個高斯的和能精確的模擬皮膚的三層模型。Gaussian參數如下，
6個高斯的方差是相同的，權重不同。r，g，b的權重不同。
看參考文檔1中的代碼
def G2(Neg_r_2, v):
v2 = 2.0 * v
return 1.0/(v2 * math.pi) * math.exp(Neg_r_2/v2)
# Sum( w * G(v, r) )
def Cal(distance,G):
Neg_r_2 = -distance*distance
rgb = array([0.233,0.455,0.649]) * G(Neg_r_2 , 0.0064)+\
array([0.100,0.336,0.344]) * G(Neg_r_2 , 0.0484)+\
array([0.118,0.198,0.000]) * G(Neg_r_2 , 0.1870)+\
array([0.113,0.007,0.007]) * G(Neg_r_2 , 0.5670)+\
array([0.358,0.004,0.000]) * G(Neg_r_2 , 1.9900)+\
array([0.078,0.000,0.000]) * G(Neg_r_2 , 7.4100)
return rgb
G2函數對應高斯公式，v是方差，Cal函數里的每個array代表r、g、b通道的不同權重。
這里求出來的顏色，正是上面D（theta）函數里的R（x），也就是某一點的散射率權重。
filmic-tonemapping
積分求出來后，需要進行filmic-tonemapping，參考這篇文章http://filmicworlds.com/blog/filmic-tonemapping-operators/，
將上面求出來的積分結果，進行如下計算：
float A = 0.15;
float B = 0.50;
float C = 0.10;
float D = 0.20;
float E = 0.02;
float F = 0.30;
float W = 11.2;
float3 Uncharted2Tonemap(float3 x)
{
return ((x*(A*x+C*B)+D*E)/(x*(A*x+B)+D*F))-E/F;
}
float ExposureBias = 2.0f;
float3 curr = Uncharted2Tonemap(ExposureBias*Color);
float3 whiteScale = 1.0f/Uncharted2Tonemap(W);
float3 color = curr*whiteScale;
float3 retColor = pow(color,1/2.2);
return float4(retColor,1);
乘以255.
上面的結果乘以255，返回：
rgb = multiply(rgb,array([255,255,255]))
return (int(rgb[0]),int(rgb[1]),int(rgb[2]))
運行python生成lut貼圖
參考文檔1中的python文件運行：安裝python，安裝pip，安裝PIL庫，安裝numpy庫(可參考這篇文章https://www.cnblogs.com/Shaojunping/p/11641778.html)，運行，生成lut。它的python代碼里用的還是-pi到pi的積分(如果安裝參考鏈接2所說，此處應該改成-pi/2, pi/2).
將生成的lut在ue4中使用：
參考uod2019的文章《常見材質效果在移動端實現的思路分享》，使用上面生成的lut貼圖，加到材質的自發光上：
這張貼圖的tiling 模式：
